שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · מאתגרת
קרן צדקה עירונית מקבלת מדי חודש תרומה קבועה יחסית לחודש הקודם — התרומה החודשית מהווה סדרה הנדסית. התרומה בחודש הראשון הייתה 40,000 ש"ח, ומנת הסדרה ההנדסית תלויה בפרמטר כלכלי x (המושפע מריבית השוק), לפי הנוסחה q(x) = (x−1)/(x+2).
א.עבור אילו ערכי x הביטוי q(x)=(x−1)/(x+2) מוגדר כלל? רשמו את התחום.
5 נק׳ב.מצאו לאילו ערכי x מנת הסדרה ההנדסית מקיימת |q(x)|<1 (תנאי ההתכנסות של סכום סדרה הנדסית אינסופית).
10 נק׳ג.עבור x=4 (ערך המקיים את תנאי ההתכנסות), מצאו את q(4) וחשבו את סכום הסדרה ההנדסית האינסופית של תרומות הקרן.
7 נק׳ד.עבור x=−1 (ערך שאינו מקיים את תנאי ההתכנסות מסעיף ב'), מצאו את q(−1) ואמתו שאכן אין אפשרות לחשב סכום סדרה הנדסית אינסופית עבורו.
5 נק׳ה.חבר ועד הקרן טוען: "ככל ש-x גדול יותר, סכום הסדרה האינסופית מתקרב לגבול סופי קבוע, שאותו ניתן לחשב לפי הנוסחה S=b₁/(1−q)". האם טענתו נכונה? נמקו באמצעות בחינת ההתנהגות של q(x) כאשר x שואף לאינסוף.
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.