שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
אמנית יוצרת יצירת אמנות גיאומטרית: היא מתחילה בריבוע שאורך צלעו 8 ס"מ, מחברת בקווים ישרים את אמצעי צלעות הריבוע ומקבלת ריבוע פנימי חדש (מסובב ב-45 מעלות ביחס לקודם), וממשיכה בתהליך: בכל שלב מחברים את אמצעי צלעות הריבוע האחרון שנוצר, ומקבלים ריבוע פנימי קטן יותר. התהליך (התיאורטי) נמשך לאינסוף שלבים.
א.מצאו את שטח הריבוע הראשון S₁ (a₁=8 ס"מ אורך צלע). באמצעות משפט פיתגורס (על משולש-הישר-זווית שנוצר בפינת הריבוע, עם ניצבים באורך מחצית הצלע), מצאו את אורך צלעו של הריבוע השני (הפנימי), ואת שטחו S₂.
6 נק׳ב.הוכיחו באופן כללי (לכל ריבוע שאורך צלעו s, לא רק עבור s=8) כי שטח הריבוע הפנימי המתקבל מחיבור אמצעי הצלעות הוא תמיד בדיוק מחצית משטח הריבוע המקורי, ללא תלות ב-s.
7 נק׳ג.הסבירו מדוע סדרת השטחים Sₙ (n=1,2,3,...) היא סדרה הנדסית, רשמו את איברה הראשון S₁ ואת מנתה q, ומצאו נוסחה לאיבר הכללי Sₙ.
5 נק׳ד.מצאו את סכום שטחי כל הריבועים (הריבוע הראשון וכל הריבועים הפנימיים שנוצרים ממנו) לאורך התהליך האינסופי, באמצעות נוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית.
7 נק׳ה.האמנית טוענת שאילו הייתה מתחילה בריבוע ששטחו כפול (128 ס"מ בריבוע במקום 64), גם סכום כל השטחים עד אינסוף היה כפול בדיוק. האם צדקה? נמקו באמצעות התכונות הכלליות של נוסחת הסכום האינסופי S=S₁/(1−q) והתוצאה שהתקבלה בסעיף ב' (שהמנה q=1/2 אינה תלויה בגודל הריבוע ההתחלתי).
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.