שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · מאתגרת
במסגרת פרויקט אדריכלי מתוכננת מרפסת מוצללת מתכתית בצורת מרובע ABCD התלוי במרחב (יחידות: מטרים). לפי תוכנית ההנדסה, קודקודי המרפסת הם A(1,2,0), B(5,2,0), C(7,4,1), D(3,4,1). האדריכל טוען שהמרובע ABCD הוא מקבילית.
א.חשבו את הווקטורים AB ו-DC (רכיב-רכיב), הראו כי הם שווים, והסבירו מדוע שוויון זה (של זוג צלעות נגדיות, כווקטורים שווים באורכם ובכיוונם) מספיק כדי להוכיח שהמרובע ABCD הוא מקבילית.
7 נק׳ב.מצאו את וקטור האלכסון BD (מ-B ל-D), ואת אורכו |BD|.
6 נק׳ג.מצאו את הווקטור AD, וחשבו באמצעות מכפלה סקלרית את הקוסינוס של הזווית DAB (הזווית שבין הצלעות AB ו-AD, בקודקוד A).
7 נק׳ד.מצאו את sin של הזווית DAB (ללא חישוב הזווית במעלות), ובעזרתו חשבו את שטח המקבילית ABCD, לפי הנוסחה שטח = |AB|·|AD|·sinθ.
7 נק׳ה.מהנדס טוען שמכיוון ש-AB=DC בדיוק (כפי שהוכחתם בסעיף א'), כל ארבע צלעות המקבילית ABCD שוות זו לזו באורכן — כלומר, המקבילית היא גם מעוין. האם צדק? נמקו באמצעות אורכי הצלעות שחישבתם.
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.