שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
אינדקס שביעות רצון מנורמל של משתמשים בשירות מנוי מקוון, הנע (לפי המודל) בין הערכים −1 ל-1, מתואר על ידי הפונקציה f(x) = (eˣ − 1)/(eˣ + 1), כאשר x מדד פעילות של המשתמש (יכול לקבל כל ערך ממשי; ערכים שליליים מציינים פעילות מתחת לממוצע, וערכים חיוביים — מעל הממוצע).
א.מהו תחום ההגדרה של f(x)=(eˣ−1)/(eˣ+1)? הסבירו מדוע המכנה לעולם אינו מתאפס.
4 נק׳ב.הוכיחו כי f היא פונקציה אי-זוגית, כלומר כי f(−x)=−f(x) לכל x.
6 נק׳ג.מצאו את שתי האסימפטוטות האופקיות של גרף f — עבור x→∞ ועבור x→−∞.
7 נק׳ד.מצאו את f'(x) בעזרת כלל המנה, והוכיחו כי f עולה ממש בכל תחום הגדרתה.
8 נק׳ה.בהתבסס על התוצאות מסעיפים ג'-ד' (שתי אסימפטוטות אופקיות ב-y=±1, ועלייה ממש בכל התחום), קבעו מהו תחום הערכים (הטווח) של הפונקציה f, ונמקו מדוע הערכים ±1 עצמם אינם מתקבלים על ידי f.
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.