שאלון 35471פרק ב' — גאומטרייה אנליטית22 נקודות · ברמת הבחינה
בתוך שמורת טבע עגולה מתוכנן להיסלל כביש ישר החוצה אותה. במערכת צירים (ביחידות של ק"מ), גבול השמורה מתואר על ידי המעגל x²+y²=25, ומרכזה בראשית הצירים O(0,0). הכביש המתוכנן מתואר על ידי משוואת הישר y=x−1.
א.הציבו את משוואת הכביש במשוואת גבול השמורה, וארגנו את התוצאה כמשוואה ריבועית ב-x בצורה הפשוטה ביותר (המקדם המוביל 1).
4 נק׳ב.פתרו את המשוואה הריבועית שמצאתם, ומצאו את שתי נקודות החיתוך A ו-B של הכביש עם גבול השמורה.
5 נק׳ג.חשבו את אורך הקטע AB — כלומר את אורך חלקו של הכביש שנמצא בתוך השמורה.
4 נק׳ד.מצאו את משוואת הישר העובר דרך מרכז השמורה O ומאונך לכביש, מצאו את נקודת החיתוך F של ישר זה עם הכביש (רגל האנך מ-O לכביש), וחשבו את המרחק OF — זהו המרחק בין מרכז השמורה לכביש.
6 נק׳ה.אמתו את התוצאות שמצאתם בסעיפים ג' וד' באמצעות משפט פיתגורס במשולש הישר-זווית שקודקודיו O, F ו-A (הזווית הישרה ב-F, לפי בניית הניצב), כלומר בדקו כי (½AB)² + OF² = r².
3 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.