שאלון 35471פרק ג' — חדו"א של פולינומים, רציונליות ושורש22 נקודות · מאתגרת
מפעל אורז ירקות בקופסאות קרטון בצורת תיבה ישרה שבסיסה ריבוע, ללא מכסה עליון (התיבה פתוחה מלמעלה). נפח כל קופסה קבוע ושווה ל-32 ליטר (32 דצ"מ מעוקב). אורך צלע הבסיס הוא x דצ"מ, וגובה התיבה הוא h דצ"מ. המפעל מעוניין למזער את כמות הקרטון הדרושה לייצור כל קופסה — כלומר את שטח הפנים הכולל של הבסיס וארבע הדפנות (בלי מכסה).
א.בטאו את h באמצעות x, לפי נתון נפח הקופסה.
4 נק׳ב.בטאו את שטח הקרטון הכולל S (בסיס ריבועי ועוד ארבע דפנות מלבניות, ללא מכסה) כפונקציה של x בלבד.
4 נק׳ג.מצאו את הנגזרת S'(x), ואת הערך של x שעבורו מתאפסת הנגזרת (עבור x>0).
5 נק׳ד.הראו שהערך x=4 נותן שטח קרטון מזערי (ולא מרבי), וחשבו את מידות הקופסה ואת שטח הקרטון המזערי.
5 נק׳ה.מנהל הייצור טוען שאם יבחרו x=8 דצ"מ, יידרש פחות קרטון לכל קופסה מאשר בפתרון האופטימלי שמצאתם. האם ייתכן שהוא צודק? חשבו את S(8) ונמקו.
4 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.