הסתברות לכיתה ט׳ — תרגול מותאם לתכנית הלימודים

כשתלמידי כיתה ט׳ (כבני 14–15) לומדים הסתברות, הם מתמקדים בעיקר בהסתברות משולבת. בכיתה ט׳ ההסתברות משלבת צירופים, שכיחות יחסית ובעיות רב-שלביות. כל התרגול בעמוד הזה תואם לתכנית הלימודים של חטיבת הביניים (כיתות ז׳–ט׳), והשאלות מסודרות לפי רמת קושי עולה — כך שאפשר להתחיל מהמקום שבו התלמיד נמצא ולהתקדם משם.

חינם · ללא הרשמה · בעברית

דוגמאות שאלות בהסתברות לכיתה ט׳

1. P(A)=0.5, P(B)=0.4, A ו-B עצמאיים. מה P(A∪B)?
   (א)0.45

   (ב)0.7

   (ג)0.2

   (ד)0.9
   הצג פתרון

   0.7 — P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.9-0.2=0.7.
2. P(A)=1/3, P(B)=1/4, ו-A∩B=∅. מה P(A∪B)?
   (א)7/12

   (ב)1/2

   (ג)5/12

   (ד)1/12
   הצג פתרון

   7/12 — כשהמאורעות זרים: P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/3+1/4=4/12+3/12=7/12.
3. P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.3. מה P(A∪B)?
   (א)0.3

   (ב)0.8

   (ג)1.1

   (ד)0.6
   הצג פתרון

   0.8 — P(A∪B)=0.6+0.5-0.3=0.8.
4. P(A∪B)=0.9, P(A)=0.6, P(B)=0.5. מה P(A∩B)?
   (א)0.1

   (ב)0.3

   (ג)0.2

   (ד)0.4
   הצג פתרון

   0.2 — P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.5-0.9=0.2.
5. בכיתה 30 תלמידים. 18 אוהבים כדורגל, 15 אוהבים כדורסל, 8 אוהבים שניהם. מה ההסתברות שתלמיד אוהב לפחות ספורט אחד?
   (א)11/30

   (ב)23/30

   (ג)18/30

   (ד)5/6
   הצג פתרון

   5/6 — |A∪B|=18+15-8=25. P=25/30=5/6.

שאלות נפוצות

טיפים להצלחה בהסתברות לכיתה ט׳

• ההסתברות של מאורע היא היחס בין מספר התוצאות הרצויות למספר כל התוצאות האפשריות, כשהמרחב שווה־הסתברות. הערך תמיד בין 0 ל־1.
• במאורעות בלתי תלויים (כמו שתי הטלות מטבע) ההסתברות שיתרחשו שניהם היא מכפלת ההסתברויות: P(A וגם B) = P(A) · P(B).
• השתמשו בדיאגרמת עץ כדי לפרוש ניסוי דו־שלבי: כל ענף מסמן תוצאה והסתברותה, ומכפלת ההסתברויות לאורך מסלול נותנת את הסתברות המסלול.
• הסתברות המאורע המשלים: P(לא A) = 1 − P(A). לעיתים קל יותר לחשב את ההסתברות שמשהו לא יקרה ולהשלים ל־1.
• הבחינו בין הוצאה עם החזרה (ההסתברויות נשארות קבועות) לבין הוצאה ללא החזרה (המכנה והמונה משתנים בשלב השני).

טעויות נפוצות (ואיך להימנע)

• חיבור הסתברויות במקום כפל במאורעות 'וגם': מחברים P(A)+P(B) כשצריך להכפיל כדי למצוא שהתרחשו שני המאורעות יחד.
• התעלמות מהשינוי בהוצאה ללא החזרה: ממשיכים עם אותו מכנה בשלב השני, למשל 5/20 פעמיים, במקום 5/20 ואז 4/19.
• תוצאת הסתברות מחוץ לתחום: מקבלים ערך גדול מ־1 או שלילי ולא עוצרים לבדוק — כל הסתברות תקפה היא בין 0 ל־1.
• ספירת תוצאות לא־שווה־הסתברות כאילו הן שוות, למשל בסכום של שתי קוביות, שבו '7' שכיח יותר מ־'2'.

דוגמאות פתורות

הסתברות היא המתמטיקה של אי־הוודאות, והיא נוכחת בכל מקום — מתחזיות מזג אוויר ועד ביטוח ובינה מלאכותית. בכיתה ט׳ אתם מעמיקים במאורעות מורכבים: ניסויים דו־שלביים, מאורעות בלתי תלויים, והוצאה עם ובלי החזרה. המפתח להצלחה הוא לזהות במדויק את מבנה הניסוי לפני שמתחילים לחשב: האם השלבים תלויים זה בזה? האם יש החזרה? דיאגרמת עץ היא ידידתכם הטובה ביותר כי היא מסדרת את כל התוצאות בבירור. ולבסוף — תמיד בדקו שהתשובה נופלת בין 0 ל־1.

עוד נושאים בכיתה ט׳:

הסתברות בכיתות אחרות: