מבחנים מיוחדים — הכנה לאולימפיאדות ומבחני מצוינות

מבחני מצוינות באוניברסיטאות (תוכניות הלברט/בר-אילן/וייצמן), אולימפיאדות מתמטיקה ומבחני קבלה לכיתות י׳ במגמות מצוינות — כולם דורשים יותר מסתם 'לדעת חומר'. הם דורשים חשיבה לטרלית, היכולת לפצח חוקיות, ולנתח בעיות שאתם רואים בפעם הראשונה. במסלול הזה ריכזנו שאלות מסוג מבחן: רצפי מספרים שצריך לזהות את החוק שלהם, רבוסים מספריים (a × b = ab + 7 — מהו a + b?), בעיות לוגיקה (מי דובר אמת?), חידות גיאומטריה לא-שגרתיות, סטטיסטיקה מתרשימים, ובעיות מילוליות שדורשות לבחור אסטרטגיה. השאלות מותאמות לרמת הכיתה — מ-ד׳ ועד ט׳ — ומדורגות מקלות יותר עד מאתגרות אמיתיות. הרמזים לא נותנים את התשובה — הם מכוונים לשיטת חשיבה.

חינם · ללא הרשמה · בעברית

דוגמאות שאלות במבחנים מיוחדים לכיתה כיתה ט׳

1. נתון הפולינום P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. מה סכום שורשי P(x)?
   (א)6

   (ב)11

   (ג)−6

   (ד)1
   הצג פתרון

   6 — על-פי וייטה לפולינום ממעלה 3 עם מקדם מוביל 1: סכום השורשים שווה למינוס המקדם של x² בסימן הפוך. המקדם של x² הוא −6, לכן סכום השורשים = 6. (ניתן לאמת: שורשים הם 1,2,3 ו-1+2+3=6.)
2. פתור את מערכת המשוואות הלא-לינארית: x + y = 5, xy = 6. מהו x² + y²?
   (א)13

   (ב)25

   (ג)12

   (ד)19
   הצג פתרון

   13 — x² + y² = (x+y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. הזהות האלגברית הזו מאפשרת חישוב ישיר ללא פתרון המשוואה לגורמים.
3. מצא את כל ערכי k שעבורם למשוואה kx² − 2x + 1 = 0 יש שורש כפול.
   (א)k = 1

   (ב)k = 2

   (ג)k = −1

   (ד)k = 4
   הצג פתרון

   k = 1 — לשורש כפול הדיסקרימיננטה Δ = 0. כאן Δ = (−2)² − 4·k·1 = 4 − 4k = 0, ולכן k = 1. (כאשר k=0 המשוואה לינארית ואין שורש כפול.)
4. כאשר מחלקים את הפולינום P(x) = x⁴ − 3x³ + 2x − 5 ב-(x−2), מה השארית?
   (א)−5

   (ב)−9

   (ג)3

   (ד)1
   הצג פתרון

   −9 — על-פי משפט השארית, השארית = P(2) = 16 − 24 + 4 − 5 = −9. שגיאה נפוצה: P(2)=16−24+4−5=−9. התשובה הנכונה היא −9.
5. הפרבולה y = x² − 4x + 3 חותכת את ציר ה-x בנקודות A ו-B. מה אורך הקטע AB?
   (א)2

   (ב)4

   (ג)1

   (ד)3
   הצג פתרון

   2 — שורשי x² − 4x + 3 = 0 הם x = 1 ו-x = 3 (פירוק: (x−1)(x−3)=0). לכן |AB| = 3 − 1 = 2.

שאלות נפוצות

עוד נושאים בכיתה כיתה ט׳:

מבחנים מיוחדים בכיתות אחרות: