מבחנים מיוחדים — כיתה ט׳

מפתח תשובות ופתרונות

1. 6 — סכום=30, חלקי 5: 30/5=6.
2. 40 ו-60 — כלל 68-95-99.7: 68% נמצאים בטווח μ±σ = 50±10 = [40,60].
3. 6 — פיתגורס: x² + (x+2)² = (x+4)². פתיחה: x² + x² + 4x + 4 = x² + 8x + 16 → x² − 4x − 12 = 0 → (x − 6)(x + 2) = 0 → x = 6 (חיובי). בדיקה: 6, 8, 10 — שלשה פיתגוראית. ✓
4. −7 — סכום=−p ⟹ 3=−p ⟹ p=−3. מכפלה=q ⟹ q=−4. p+q=−7.
5. 3 — השורשים: (x−2)(x−4) = 0 → x = 2, x = 4. קודקוד נמצא באמצע: x = (2+4)/2 = 3. או: x = −b/(2a) = 6/2 = 3.
6. 10,500 ש״ח — A = P × (1 + r)¹ = 10,000 × 1.05 = 10,500 ש״ח.
7. x ≤ 3 — 2x − 5 ≥ 3x − 8 → −5 + 8 ≥ 3x − 2x → 3 ≥ x, כלומר x ≤ 3.
8. 52.5 קמ״ש — זמן 1 = 120/60 = 2 שעות. זמן 2 = 90/45 = 2 שעות. מרחק כולל = 210 ק״מ, זמן כולל = 4 שעות. מהירות ממוצעת = 210 ÷ 4 = 52.5 קמ״ש.
9. 3/8 — C(3,2)·(1/2)³=3/8.
10. 3,375 ₪ — ריבית דריבית: A = קרן × (1 + r)ⁿ. שלב 1: 1.04² = 1.0816. שלב 2: 1.04³ = 1.0816 × 1.04 = 1.124864. שלב 3: A = 3,000 × 1.124864 ≈ 3,374.6 ₪ ≈ 3,375 ₪.
11. 20 ס״מ — שלב 1 — יחס טריגונומטרי: sin(30°) = נגדית/יתר. שלב 2 — הצבה: 0.5 = 10/יתר. שלב 3 — יתר = 10/0.5 = 20 ס״מ. בדיקה: sin(30°) = 10/20 = 0.5 ✓
12. 3/4 — שלב 1: P(T1)=P(T2)=0.5. שלב 2: P(אדום|T1)=3/5, P(אדום|T2)=1/5. שלב 3: P(אדום)=0.5·(3/5)+0.5·(1/5)=0.5·(4/5)=2/5. שלב 4: בייס: P(T1|אדום)=P(T1)·P(אדום|T1)/P(אדום)=0.5·(3/5)/(2/5)=(3/10)/(2/5)=(3/10)·(5/2)=15/20=3/4.
13. (2,4) — x²=x+2 ⟹ x²−x−2=0 ⟹ (x−2)(x+1)=0. x=2 (חיובי) ⟹ y=4.
14. 22 מ׳ — שלב 1: h(t) = −5t²+20t+2 היא פרבולה עם a=−5<0, מכסימום בקודקוד. שלב 2: t_קודקוד = −b/(2a) = −20/(2·(−5)) = 20/10 = 2 שניות. שלב 3: h(2) = −5·4+20·2+2 = −20+40+2 = 22 מ׳.
15. שתי נקודות: (1, −2) ו־(5, 6) — השוואה: x² − 4x + 1 = 2x − 4 → x² − 6x + 5 = 0. דיסקרימיננטה = (−6)² − 4·1·5 = 16 > 0, ולכן יש שני שורשים: x = (6 ± 4)/2, כלומר x = 5 או x = 1. הצבה בישר: y(5) = 6, y(1) = −2. שתי נקודות חיתוך: (1, −2) ו־(5, 6).
16. כן, שניהם 8 — שלב 1 — חציון: הנתונים מסודרים: 4, 7, 8, 10, 11; האמצעי הוא הערך השלישי = 8. שלב 2 — ממוצע: (4 + 7 + 8 + 10 + 11) / 5 = 40 / 5 = 8. ממוצע = חציון = 8.
17. x=15 ש״ח, רווח=250 ש״ח — שלב 1: R(x) = −2x²+60x−200, פרבולה עם a=−2<0 → מרבי בקודקוד. שלב 2: x_קודקוד = −60/(2·(−2)) = 60/4 = 15. שלב 3: R(15) = −2(225)+60(15)−200 = −450+900−200 = 250 ש״ח.
18. (4, 0) — שלב 1 — השוואה: x² − 4x = x − 4 → x² − 5x + 4 = 0. שלב 2 — פקטוריזציה: (x − 1)(x − 4) = 0 → x = 1 או x = 4. שלב 3 — הנקודה עם x גדול יותר: x = 4; y = 4 − 4 = 0. נקודת החיתוך הגדולה: (4, 0). בדיקה על הפרבולה: 4² − 4×4 = 16 − 16 = 0 ✓
19. קודקוד (3, −1), AB = 2 — קודקוד: x = −b/(2a) = 6/2 = 3, y = 9 − 18 + 8 = −1. שורשים: (x − 2)(x − 4) = 0 → x = 2, 4. AB = |4 − 2| = 2.
20. (3, −4) — שיעור x של הקודקוד: x = −b/(2a) = 6/2 = 3. שיעור y: 3² − 6·3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4. הקודקוד: (3, −4).