גיאומטריה — כיתה ט׳

מפתח תשובות ופתרונות

1. 100 + 4 × (5h/2) מ׳² — גובה כל משולש = √(6² − 2.5²) = √(36 − 6.25) = √29.75 ≈ 5.455. שטח כל משולש = (5 × 5.455)/2 ≈ 13.64. סך הכל ≈ 100 + 4 × 13.64 ≈ 154.56 מ׳².
2. 16 — יחס השטחים = k² = 4² = 16.
3. 8 ס״מ — הגובה מחצה את BC ל-6 ס״מ (סימטריה). h² + 6² = 10² → h² = 100 − 36 = 64 → h = 8 ס״מ.
4. 4π — המשולש ישר-זווית (6²+8²=100=10²). רדיוס המעגל הכתוב: r = (a+b−c)/2 = (6+8−10)/2 = 2. שטח = π·2² = 4π.
5. C = D = 90° — AB קוטר → זוויות C ו-D הנשענות עליו (כזוויות היקפיות) הן כל אחת 90°.
6. 1/√3 — tan(30°) = sin(30°)/cos(30°) = 0.5/(√3/2) = 1/√3 ≈ 0.577.
7. 18 ס״מ — מ-△ECD ~ △EAB (AB ∥ CD — זוויות מתאימות): EC/EA = CD/AB → 6/EA = 4/12 = 1/3 → EA = 18 ס״מ.
8. 702.37 ס״מ² — שטח גליל (צד + בסיס תחתון בלבד) = 2π · 4 · 20 + π · 16 = 502.4 + 50.24 = 552.64. שטח הכדור = 4π · 16 = 200.96. אך חלק תחתון הכדור חופף עם הגליל — כולל רק שטח חיצוני: 552.64 + 200.96 − π · 16 = 703.6 ≈ 702.37 ס״מ².
9. 2:1 — בדמיון, גודל התמונה הפוך למרחק. יחס = 20:10 = 2:1.
10. 14 ס״מ — הקו האמצעי בטרפז = (בסיס גדול + בסיס קטן) / 2 = (18 + 10) / 2 = 14 ס״מ.
11. 32.56 מ׳² — שטח סלון = 20 מ׳². שטח מרפסת = π × 4 ≈ 12.56 מ׳². סך הכל ≈ 32.56 מ׳².
12. 27.43 מ׳² — שטח מלבן = 40. שטח מעגל = π × 4 ≈ 12.57. שטח גינה = 40 − 12.57 ≈ 27.43 מ׳².
13. 50√3 ס״מ² — שטח מעוין = a² · sin(θ) = 10² · sin(60°) = 100 · (√3/2) = 50√3.
14. 6 ס״מ — שטח מעוין = (10 × 6) / 2 = 30 ס״מ². שטח מלבן = 5 × L = 30, לכן L = 6 ס״מ.
15. 3, 4, 5 — 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². זוהי שלשה פיתגורית: 3, 4, 5.
16. DE מחבר אמצעי שתי צלעות — לפי משפט הקו האמצעי — לפי משפט הקו האמצעי במשולש: הקו המחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
17. 28.26 ס״מ² — שטח גזרה = (α/360°) · π · r² = (90/360) · 3.14 · 36 = 0.25 · 113.04 = 28.26 ס״מ².
18. 12 ס״מ — OA = 13, OP = 5. PA = √(OA² − OP²) = √(169 − 25) = √144 = 12 ס״מ.
19. 16:1 — יחס שטח הפנים = (4:1)² = 16:1.
20. 13 ס״מ — האלכסונים מחצים זה את זה: מחציות הם 5 ו־12. צלע = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 ס״מ.