גיאומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $m=-\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{2}$.
2. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
3. $12$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot24=12$.
4. $x^2+(y-4)^2=36$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=0,\ b=4,\ r=6$: $x^2+(y-4)^2=36$.
5. $y=2x+2$ — שיפוע $m=\frac{4-(0)}{1-(-1)}=2$. נציב נקודה: $b=0-(2)\cdot-1=2$. לכן $y=2x+2$.
6. $13$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
7. $y=2x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(0)}{3-(1)}=2$. נציב נקודה: $b=0-(2)\cdot1=-2$. לכן $y=2x-2$.
8. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(4,4)$.
9. $\frac{16}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot1+4\cdot2+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{16}{5}=\frac{16}{5}$.
10. $y=0x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=0(x-(2))$, כלומר $y=0x+4$.
11. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
12. $13$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{169}=13$.
13. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
14. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(5)=3(x-(0))$, כלומר $y=3x+5$.
15. $y=2x-1$ — שיפוע $m=\frac{3-(-1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=-1-(2)\cdot0=-1$. לכן $y=2x-1$.
16. $\sqrt{13}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=\sqrt{13}$.
17. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
18. $y=3x$ — שיפוע $m=\frac{3-(0)}{1-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=0-(3)\cdot0=0$. לכן $y=3x$.
19. $(0,0),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
20. $y=-x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=-1(x-(4))$, כלומר $y=-1x+5$.