מה צריך לדעת בגיאומטריה בכיתה י"ב · 5 יח"ל?

בכיתה י"ב · 5 יח"ל לומדים גיאומטריה ברמה המותאמת לגיל, עם מעבר הדרגתי ממושגים בסיסיים לתרגול עצמאי. לכן התרגול כאן מתמקד בגיאומטריה ברמת כיתה י"ב · 5 יח"ל, בהתאם לרמה הנדרשת בכיתה י"ב · 5 יח"ל.

האם התרגול בגיאומטריה מתאים בדיוק לרמת כיתה י"ב · 5 יח"ל?

כן. כל השאלות בדף סוננו לרמת כיתה י"ב · 5 יח"ל בלבד — לא קלות מדי ולא קשות מדי — כך שתלמיד מתרגל בדיוק את מה שנלמד בכיתתו.

איך התרגול בגיאומטריה עוזר להתכונן למבחן בכיתה י"ב · 5 יח"ל?

התרגול מכסה את גיאומטריה ברמת כיתה י"ב · 5 יח"ל בכמה רמות קושי, עם הסבר לכל פתרון. חזרה על הנושאים האלה לפני מבחן בכיתה י"ב · 5 יח"ל מחזקת ביטחון ומצמצמת טעויות נפוצות.

מה ההבדל בין גיאומטריה 5 יחידות לרמות הנמוכות?

ברמת 5 יחידות הגיאומטריה האנליטית (על מערכת צירים) מועמקת בהרבה יותר מרמות 3-4 יחידות — כוללת שילוב עם וקטורים, בעיות אופטימיזציה גיאומטריות ושאלות מורכבות המשלבות כמה משפטים יחד, בהמשך לחומר שהתחיל כבר בכיתה י׳.

⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י"ב · 5 יח"ל · 20 שאלות

גיאומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל

דף עבודה להדפסה עם תשובות ופתרונות — 20 שאלות, חינם וללא הרשמה.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.בתיבה מלבנית $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ נתון $A B = 3$ , $A D = 4$ , $A A^{'} = 12$ . נסמן $A B = u$ , $A D = v$ , $A A^{'} = w$ (וקטורים מאונכים זה לזה בזוגות). מהו אורך האלכסון הראשי $∣ A C^{'} ∣$ ?
(א) $17$
(ב) $5$
(ג) $19$
(ד) $13$
2.בתיבה $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , נסמן $A B = u$ , $A D = v$ , $A A^{'} = w$ . תהי $M$ מרכז הפאה העליונה $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (נקודת חיתוך אלכסוני הפאה). הבע את $A M$ באמצעות $u, v, w$ .
(א) $\frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v + w$
(ב) $\frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v + \frac{1}{2} w$
(ג) $u + v + \frac{1}{2} w$
(ד) $u + v + w$
3.בתיבה מלבנית (תיבה ישרה, שבה כל שני מקצועות הנפגשים בקדקוד מאונכים זה לזה) $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , נסמן $A B = u$ , $A D = v$ . מהו הערך של המכפלה הסקלרית $u \cdot v$ ?
(א) $1$
(ב) $0$
(ג)אי אפשר לדעת בלי מידות התיבה
(ד) $∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣$
4.נתונים $u = (6, 1)$ ו- $v = (- 3, 4)$ . מהי המכפלה הסקלרית $u \cdot v$ ?
(א) $- 13$
(ב) $- 22$
(ג) $- 14$
(ד) $21$
5.בתיבה $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , נסמן $A B = u$ , $A D = v$ , $A A^{'} = w$ . נקודה $F$ נמצאת על האלכסון $B D^{'}$ (מהקדקוד $B$ אל הקדקוד $D^{'}$ ) כך ש- $B F = \frac{2}{3} B D^{'}$ . הבע את $A F$ באמצעות $u, v, w$ .
(א) $\frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v + \frac{2}{3} w$
(ב) $u + \frac{2}{3} v + \frac{2}{3} w$
(ג) $\frac{2}{3} u + \frac{1}{3} v + \frac{1}{3} w$
(ד) $\frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} w$
6.נתונים $a = (1, 0, - 1)$ ו- $b = (1, 2, 1)$ . מצאו את הזווית בין הווקטורים.
(א) $4 5^{\circ}$
(ב) $0^{\circ}$
(ג) $9 0^{\circ}$
(ד) $6 0^{\circ}$
7.מנקודה $P (0, 17)$ מעבירים משיק למעגל שמרכזו $(0, 0)$ ורדיוסו $15$ . מהו אורך המשיק?
(א) $17$
(ב) $15$
(ג) $9$
(ד) $8$
8.מהו שיפוע הישר העובר דרך $A (1, 2)$ ו $- B (5, 2)$ ?
(א) $1$
(ב) $2$
(ג) $0$
(ד) $- 1$
9.נתונים הווקטורים במרחב $u = (1, 1, 1)$ ו $- v = (2, 2, 2)$ . מהו $u + v$ ?
(א) $(4, 3, 3)$
(ב) $(3, 3, 4)$
(ג) $(3, 3, 3)$
(ד) $(- 1, - 1, - 1)$
10.מהו שיפוע הישר העובר דרך $A (0, 2)$ ו $- B (5, 12)$ ?
(א) $3$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $- 2$
(ד) $2$
11.נתון מעגל שמשוואתו $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 100$ . מהו מרכז המעגל?
(א) $(1, 1)$
(ב) $(1, - 1)$
(ג) $(- 1, - 1)$
(ד) $(- 1, 1)$
12.נתון מעגל שמשוואתו $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ . מהו מרכז המעגל?
(א) $(- 3, - 3)$
(ב) $(3, - 3)$
(ג) $(3, 3)$
(ד) $(- 3, 3)$
13.מהו שיפוע הישר העובר דרך $A (1, 0)$ ו $- B (4, 6)$ ?
(א) $3$
(ב) $- 2$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $2$
14.נתונים $u = (0, 4)$ ו $- v = (2, - 1)$ . מהי המכפלה הסקלרית $u \cdot v$ ?
(א) $- 4$
(ב) $4$
(ג) $- 3$
(ד) $8$
15.נתון הווקטור $v = (2, 0)$ . מהו $5 v$ ?
(א) $(- 10, 0)$
(ב) $(10, 0)$
(ג) $(2, 0)$
(ד) $(7, 5)$
16.נתונים $u = (0, 3, 2)$ ו $- v = (5, 1, 0)$ . מהי המכפלה הסקלרית $u \cdot v$ ?
(א) $3$
(ב) $4$
(ג) $2$
(ד) $- 3$
17.נתונים הווקטורים במרחב $u = (2, - 1, 3)$ ו $- v = (1, 4, 2)$ . מהו $u + v$ ?
(א) $(3, 3, 6)$
(ב) $(3, 3, 5)$
(ג) $(1, - 5, 1)$
(ד) $(4, 3, 5)$
18.הווקטור $u = (2, 8)$ ניצב לווקטור $v = (4, y)$ . מהו הערך של $y$ ?
סרטוט סכמטי — לא לפי קנה מידה, כיוון v אינו מדויק
(א) $- 2$
(ב) $0$
(ג) $1$
(ד) $- 1$
19.הווקטור $u = (5, 10)$ ניצב לווקטור $v = (2, y)$ . מהו הערך של $y$ ?
סרטוט סכמטי — לא לפי קנה מידה, כיוון v אינו מדויק
(א) $- 1$
(ב) $0$
(ג) $1$
(ד) $- 2$
20.הווקטור $v = (6, t)$ מקביל לווקטור $u = (1, 2)$ . מהו הערך של $t$ ?
(א) $6$
(ב) $14$
(ג) $12$
(ד) $13$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

$13$ — מכיוון ש-$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ מאונכים זה לזה בזוגות ($\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}=0$), מתקיים $|\vec{AC'}|^2=|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$. לכן $|\vec{AC'}|=\sqrt{169}=13$.
$\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}$ — מרכז הפאה העליונה $A'B'C'D'$ נמצא באמצע האלכסון $A'C'$. לכן $\vec{AM}=\vec{AA'}+\frac{1}{2}\vec{A'C'}=\vec{w}+\frac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}$. רכיב $\vec{w}$ נשאר שלם כי הפאה העליונה כולה נמצאת בגובה מלא; $\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w}$ הוא מרכז התיבה, ו-$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ הוא הקודקוד $C'$.
$0$ — המקצועות $AB$ ו-$AD$ נפגשים בקדקוד $A$ בזווית ישרה (זוהי תכונת התיבה המלבנית), ולכן הזווית בין $\vec{u}$ ל-$\vec{v}$ היא $90^\circ$. מכפלה סקלרית של שני וקטורים מאונכים שווה תמיד ל-$0$, ללא תלות באורכם.
$-14$ — מכפלה סקלרית: $\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot(-3)+1\cdot4=-18+4=-14$.
$\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}$ — $\vec{BD'}=\vec{AD'}-\vec{AB}=(\vec{v}+\vec{w})-\vec{u}=-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$. לכן $\vec{BF}=\frac{2}{3}(-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})$, ו-$\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BF}=\vec{u}+\frac{2}{3}(-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}$.
$90^\circ$ — $\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot1+0\cdot2+(-1)\cdot1=1+0-1=0$. מכפלה סקלרית אפס משמעה $\cos\theta=0$, כלומר $\theta=90^\circ$.
$8$ — אורך המשיק:$ \sqrt{d^2-R^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8,$ כאשר $d$ המרחק מהנקודה למרכז.
$0$ — שיפוע:$ m=\frac{2-2}{5-1}=0$.
$(3,3,3)$ — חיבור וקטורים במרחב רכיב$-$רכיב:$ (1+2,1+2,1+2)=(3,3,3)$.
$2$ — שיפוע:$ m=\frac{12-2}{5-0}=2$.
$(-1,-1)$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-1,-1)$.
$(3,3)$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ המרכז הוא $(a,b)=(3,3)$.
$2$ — שיפוע:$ m=\frac{6-0}{4-1}=2$.
$-4$ — מכפלה סקלרית:$ \vec{u}\cdot\vec{v}=0\cdot2+4\cdot-1=-4$.
$(10,0)$ — כפל בסקלר מכפיל כל רכיב:$ 5\vec{v}=(5\cdot2,5\cdot0)=(10,0)$.
$3$ — מכפלה סקלרית במרחב:$ 0\cdot5+3\cdot1+2\cdot0=3$.
$(3,3,5)$ — חיבור וקטורים במרחב רכיב$-$רכיב:$ (2+1,-1+4,3+2)=(3,3,5)$.
$-1$ — ניצבות פירושה מכפלה סקלרית אפס:$ 2\cdot4+8\cdot y=0,$ ולכן $y=-1$.
$-1$ — ניצבות פירושה מכפלה סקלרית אפס:$ 5\cdot2+10\cdot y=0,$ ולכן $y=-1$.
$12$ — וקטורים מקבילים הם כפולה זה של זה. מכיוון ש$-6=6\cdot1,$ גם $t=6\cdot2=12$.

גיאומטריה לכיתה י"ב · 5 יח"ל — תרגול מותאם לתכנית הלימודים

בגיאומטריה לתלמידי כיתה י"ב · 5 יח"ל, המיקוד הוא גיאומטריה ברמת כיתה י"ב · 5 יח"ל. בכיתה י"ב · 5 יח"ל לומדים גיאומטריה ברמה המותאמת לגיל, עם מעבר הדרגתי ממושגים בסיסיים לתרגול עצמאי. המסלול מיועד לבני 17–18 הלומדים בהתיכון (כיתה י׳, לקראת בגרות), ומלווה אותם צעד אחר צעד עם רמזים מדורגים והסבר לכל פתרון. כך התרגול בונה ביטחון לפני המבחן הבא, בלי לדלג על היסודות. מי שמחפש "גיאומטריה כיתה י׳ 5 יחידות" יגיע לרוב לחומר הזה: גיאומטריה אנליטית ברמת 5 יחידות היא המשך ישיר לחומר שמתחיל כבר בכיתה י׳ ומועמק עד כיתה י״ב — משוואת ישר ומעגל, מרחק בין נקודות, וזוויות בין ישרים, הכל על מערכת צירים.

שאלות נפוצות

מה צריך לדעת בגיאומטריה בכיתה י"ב · 5 יח"ל?: בכיתה י"ב · 5 יח"ל לומדים גיאומטריה ברמה המותאמת לגיל, עם מעבר הדרגתי ממושגים בסיסיים לתרגול עצמאי. לכן התרגול כאן מתמקד בגיאומטריה ברמת כיתה י"ב · 5 יח"ל, בהתאם לרמה הנדרשת בכיתה י"ב · 5 יח"ל.
האם התרגול בגיאומטריה מתאים בדיוק לרמת כיתה י"ב · 5 יח"ל?: כן. כל השאלות בדף סוננו לרמת כיתה י"ב · 5 יח"ל בלבד — לא קלות מדי ולא קשות מדי — כך שתלמיד מתרגל בדיוק את מה שנלמד בכיתתו.
איך התרגול בגיאומטריה עוזר להתכונן למבחן בכיתה י"ב · 5 יח"ל?: התרגול מכסה את גיאומטריה ברמת כיתה י"ב · 5 יח"ל בכמה רמות קושי, עם הסבר לכל פתרון. חזרה על הנושאים האלה לפני מבחן בכיתה י"ב · 5 יח"ל מחזקת ביטחון ומצמצמת טעויות נפוצות.
מה ההבדל בין גיאומטריה 5 יחידות לרמות הנמוכות?: ברמת 5 יחידות הגיאומטריה האנליטית (על מערכת צירים) מועמקת בהרבה יותר מרמות 3-4 יחידות — כוללת שילוב עם וקטורים, בעיות אופטימיזציה גיאומטריות ושאלות מורכבות המשלבות כמה משפטים יחד, בהמשך לחומר שהתחיל כבר בכיתה י׳.