מבחנים מיוחדים — כיתה ח׳

מפתח תשובות ופתרונות

1. 11 ס״מ — הקטע האמצעי בטרפז = (בסיס גדול + בסיס קטן) ÷ 2 = (14+8) ÷ 2 = 11 ס״מ.
2. 3 — ממוצע = (60+70+80+85+90+95) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80. ציונים מעל 80: 85, 90, 95 — 3 תלמידים.
3. 6x⁴y⁶ — 6·x^(3+1)·y^(2+4)=6x⁴y⁶. נושאים: חזקות, ביטויים אלגבריים.
4. 3 — נכתוב a = 12m, b = 12k עם gcd(m, k) = 1. אז 12(m + k) = 84, ולכן m + k = 7 עם m ≤ k. הזוגות הזרים: (1,6), (2,5), (3,4) — כולם זרים. סה״כ 3 זוגות (שלהם מתאימים (12,72), (24,60), (36,48)).
5. 3 ₪/ק״מ — שלב 1 — נקודות: (1, 5) ו-(4, 14). שלב 2 — שיפוע: m = (14 − 5) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3. התעריף לכל ק״מ הוא 3 ₪.
6. 13 — מציבים x = 5 בפונקציה: y = 2×5 + 3 = 10 + 3 = 13.
7. 30 ס״מ² — ניצב ארוך = √(13²−5²) = √(169−25) = √144 = 12 ס״מ. שטח = (5×12)/2 = 30 ס״מ².
8. 12π ס״מ — שטח = πr² = 36π → r²=36 → r=6. היקף = 2πr = 2π×6 = 12π ס״מ.
9. x=6 — ראה רמזים לפתרון מלא
10. 4 — לפי וייטה r + s = 10 ו-rs = 21. נשתמש בזהות (r − s)² = (r + s)² − 4rs = 100 − 84 = 16, ולכן |r − s| = 4.
11. 10 מ׳ — פיתגורס: יתר² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → יתר = √100 = 10 מ׳.
12. 2.4 שעות — קצב A = 1/6 בריכה/שעה. קצב B = 1/4 בריכה/שעה. יחד: 1/6+1/4 = 2/12+3/12 = 5/12. זמן = 12/5 = 2.4 שעות.
13. 1/4 — שלב 1 — מרחב מדגם: 2 × 6 = 12 אפשרויות שוות. שלב 2 — מקרים רצויים: עץ (1 אפשרות) × זוגי {2,4,6} (3 אפשרויות) = 3 מקרים. שלב 3 — הסתברות: 3/12 = 1/4.
14. 4 יחידות² — A: x=0 → y=−4 → A=(0,−4). B: y=0 → 2x=4 → x=2 → B=(2,0). בסיס OB=2, גובה |y_A|=4. שטח = ½×2×4 = 4 יחידות².
15. 25 יחידות רבועות — שלב 1 — נקודת חיתוך P: x + 2 = −x + 8 → 2x = 6 → x = 3, y = 5. נקודה P = (3, 5). שלב 2 — חיתוך y=x+2 עם ציר x (y=0): 0 = x+2 → x = −2. נקודה A = (−2, 0). שלב 3 — חיתוך y=−x+8 עם ציר x (y=0): 0 = −x+8 → x = 8. נקודה B = (8, 0). שלב 4 — שטח: בסיס AB = 8−(−2) = 10; גובה = y-קואורדינטה של P = 5. S = ½ × 10 × 5 = 25 יחידות רבועות.
16. 54 ש״ח — עלייה של 20%: מכפילים ב-1.20. 45 × 1.20 = 54 ש״ח.
17. 12x — שילוב נוסחאות הכפל המקוצר עם חיסור פולינומים.
18. y=3x−1 — y − 5 = 3(x − 2) → y = 3x − 6 + 5 = 3x − 1.
19. 8 — k = xy = 4·6 = 24. y = 24/3 = 8.
20. 3 — חישוב שיפוע מנקודות, שילוב גיאומטריה אנליטית וחשבון.