מבחנים מיוחדים — כיתה י׳ · יסודות בגרות

מפתח תשובות ופתרונות

1. x=3 — מכפילים ב־6: 3(x−1)+2(x+3)=24 ⟹ 3x−3+2x+6=24 ⟹ 5x+3=24 ⟹ x=3.
2. 2e^(2x) — כלל השרשרת: (e^u)'=e^u·u'. כאן u=2x, u'=2 ⟹ f'(x)=2e^(2x).
3. 1 — sin 30° = 0.5 ו־cos 60° = 0.5. הסכום 0.5 + 0.5 = 1.
4. x=3.2, y=2.2 — מהשנייה x=y+1. הצבה: 2(y+1)+3y=13 ⟹ 5y+2=13 ⟹ y=2.2, x=3.2.
5. ללא שינוי — מקדם כולל = 1.25 · 0.80 = 1.00. לכן המחיר חזר למחיר המקורי — ללא שינוי.
6. 1/4 — y = x^(1/2), y' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x). ב-x=4: 1/(2·2) = 1/4.
7. 8 — x רוחב, x+3 אורך. x(x+3)=40 → x²+3x-40=0 → (x+8)(x-5)=0. x=5 רוחב, אורך=8.
8. x=3 — קודקוד הפרבולה ב־x = −b/(2a) = 6/2 = 3. מקדם a>0 ולכן זהו מינימום.
9. 5 — (2+i)(2−i) = 4 − i² = 4 − (−1) = 5. (הפרש ריבועים.)
10. 4 — a₇ − a₃ = 4d ⟹ 27 − 11 = 16 = 4d ⟹ d = 4.
11. 15x² − 8x + 7 — גוזרים איבר־איבר לפי הכלל (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹: 5·3x²=15x², −4·2x=−8x, 7'=7, נגזרת קבוע 0. לכן f'(x)=15x²−8x+7.
12. 25 — לפי הכלה והפרדה: |A∪B| = 18 + 15 − 8 = 25.
13. מינימום ב-x=2, ערך 4 — f' = 1 - 4/x² = 0 → x² = 4 → x=2 (חיובי). f(2)=2+2=4. f''=8/x³>0 → מינימום.
14. 12x² - 18x — f' = 4x³-9x²+2. f'' = 12x²-18x.
15. 4x − 5 — נפתח: f(x)=2x²−5x−3. הנגזרת f'(x)=4x−5. (או לפי כלל המכפלה: 2(x−3)+(2x+1)=4x−5.)
16. $2\sqrt{13}$ — לפי משפט הקוסינוס: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60° = 100 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$. לכן $AC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.
17. 79 — aₙ = a₁ + (n-1)d = 3 + 19·4 = 3+76 = 79.
18. 25π — שטח מעגל = πr² = π·5² = 25π.
19. x=2 — f''(x)=6x−12. f''=0 ⟹ x=2. הנגזרת השנייה משנה סימן שם, ולכן זו נקודת פיתול.
20. 3x + 4y = 25 — משיק למעגל x²+y²=r² בנקודה (x₀,y₀): x₀x + y₀y = r². כאן: 3x + 4y = 25.