סדרה הנדסית — נוסחאות ודוגמאות

נתונה הסדרה 3, 6, 12, 24. הראו שהיא הנדסית ומצאו את האיבר הכללי

1. בודקים את המנה בין איברים סמוכים: 6 ÷ 3 = 2, וגם 12 ÷ 6 = 2, וגם 24 ÷ 12 = 2
2. כל המנות שוות ל-2, ולכן זו סדרה הנדסית עם q = 2
3. מציבים בנוסחת האיבר הכללי: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ = 3 · 2ⁿ⁻¹
4. בדיקה: האיבר הרביעי לפי הנוסחה הוא a₄ = 3 · 2³ = 3 × 8 = 24 — תואם לסדרה הנתונה

בסדרה הנדסית a₁ = 5 ו-q = 2. מהו האיבר השישי?

1. מציבים בנוסחת האיבר הכללי: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
2. עבור n = 6: a₆ = 5 · 2⁵
3. מחשבים את החזקה: 2⁵ = 32
4. התשובה: a₆ = 5 × 32 = 160

בסדרה הנדסית ידוע ש-a₂ = 6 ו-a₅ = 48. מצאו את q ואת a₁

1. בין האיבר השני לחמישי יש 3 "קפיצות" של כפל ב-q, ולכן: a₅ ÷ a₂ = q³
2. מציבים: 48 ÷ 6 = 8 = q³, ולכן q = 2
3. חוזרים אחורה מ-a₂ צעד אחד: a₁ = a₂ ÷ q = 6 ÷ 2 = 3
4. בדיקה: הסדרה 3, 6, 12, 24, 48 — ואכן האיבר החמישי הוא 48

חשבו את הסכום 8 + 4 + 2 + 1 + ⋯

1. מזהים את q: 4 ÷ 8 = 0.5, ובודקים שההמשך תואם: 2 ÷ 4 = 0.5
2. מכיוון ש-q = 0.5 וערכו המוחלט קטן מ-1, קיים סכום אינסופי
3. מציבים בנוסחת הסכום האינסופי: S = a₁ ÷ (1 − q) = 8 ÷ (1 − 0.5)
4. התשובה: S = 8 ÷ 0.5 = 16