🔢

נוסחאות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

Q: מה ההבדל בין סדרה חשבונית לסדרה הנדסית?

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד הפרש קבוע d (גידול ליניארי). בסדרה הנדסית מכפילים בכל צעד במנה קבועה q (גידול מעריכי).

Q: איך זוכרים למה יש (n−1) ולא n בנוסחה?

כי מהאיבר הראשון עד האיבר ה-n עוברים n − 1 "צעדים" בלבד — לא n צעדים. זו הטעות השכיחה ביותר בנושא הסדרות.

דף הנוסחאות המלא לסדרות מתמטיות: סדרה חשבונית (מוסיפים הפרש קבוע d) וסדרה הנדסית (מכפילים במנה קבועה q). הדפיסו את הדף ושמרו אותו ליד בזמן פתרון תרגילים ובגרות.

טבלת הנוסחאות

איבר כללי — סדרה חשבונית

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

מתי משתמשים: מוצאים כל איבר לפי מקומו

n

, בלי לכתוב את כל האיברים שלפניו.

דוגמה:

a_{1} = 4, d = 5 \Rightarrow a_{12} = 4 + 11 \cdot 5 = 59

סכום n איברים — סדרה חשבונית

S_{n} = \frac{n \cdot ( a _{1} + a _{n} )}{2}

מתי משתמשים: מספר האיברים כפול הממוצע של האיבר הראשון והאחרון.

דוגמה:

a_{1} = 3, d = 4, n = 20 \Rightarrow a_{20} = 79, S_{20} = \frac{20 \cdot 82}{2} = 820

איבר כללי — סדרה הנדסית

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

מתי משתמשים: מוצאים כל איבר לפי מקומו

n

כשמכפילים כל פעם במנה קבועה

q

דוגמה:

a_{1} = 5, q = 2 \Rightarrow a_{7} = 5 \cdot 2^{6} = 320

סכום n איברים — סדרה הנדסית

S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1

מתי משתמשים: סכום איברים ראשונים כשהמנה

q

שונה מ-1.

דוגמה:

a_{1} = 2, q = 3, n = 5 \Rightarrow S_{5} = \frac{2 ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1} = 242

טור הנדסי אינסופי

S = \frac{a _{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

מתי משתמשים: סכום כל האיברים (עד אינסוף) כשהמנה קטנה בערכה המוחלט מ-1 — הטור מתכנס.

דוגמה:

a_{1} = 8, q = \frac{1}{2} \Rightarrow S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16

שאלות נפוצות

מה הנוסחה לסדרה חשבונית?

נוסחת האיבר הכללי היא aₙ = a₁ + (n − 1)·d, ונוסחת הסכום של n האיברים הראשונים היא Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2.

מהן הנוסחאות לסדרה הנדסית?

האיבר הכללי: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. סכום n האיברים הראשונים (q ≠ 1): Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) / (q − 1). לטור אינסופי כש-|q| < 1: S = a₁ / (1 − q).

מה ההבדל בין סדרה חשבונית לסדרה הנדסית?

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד הפרש קבוע d (גידול ליניארי). בסדרה הנדסית מכפילים בכל צעד במנה קבועה q (גידול מעריכי).

איך זוכרים למה יש (n−1) ולא n בנוסחה?

כי מהאיבר הראשון עד האיבר ה-n עוברים n − 1 "צעדים" בלבד — לא n צעדים. זו הטעות השכיחה ביותר בנושא הסדרות.

המשיכו ללמוד ולתרגל

← כל דפי הנוסחאות