איך מוכיחים שסדרה היא חשבונית

האם הסדרה 5, 9, 13, 17 היא חשבונית?

1. מחשבים הפרשים בין איברים סמוכים: 9 − 5 = 4, וגם 13 − 9 = 4, וגם 17 − 13 = 4
2. כל ההפרשים שווים ל-4
3. מסקנה: זו סדרה חשבונית שבה d = 4 (עבור האיברים הנתונים; להוכחה מלאה של סדרה אין-סופית צריך את האיבר הכללי)

האיבר הכללי של סדרה הוא aₙ = 3n + 2. הוכיחו שהסדרה חשבונית.

1. כותבים את האיבר הבא: aₙ₊₁ = 3(n + 1) + 2 = 3n + 5
2. מחשבים את ההפרש: aₙ₊₁ − aₙ = (3n + 5) − (3n + 2) = 3
3. ההפרש 3 קבוע ואינו תלוי ב-n
4. מסקנה: הסדרה חשבונית עם הפרש d = 3 — וזו הוכחה לכל n, לא רק לאיברים הראשונים

האם הסדרה 1, 2, 4, 8 היא חשבונית?

1. בודקים הפרשים: 2 − 1 = 1, אבל 4 − 2 = 2
2. מספיק הפרש אחד שונה כדי לפסול — הסדרה אינה חשבונית
3. אגב: המנה בין איברים סמוכים קבועה (2), ולכן זו דווקא סדרה הנדסית

בסדרה חשבונית ידוע ש- a₃ = 11 ו- a₇ = 23. מצאו את d ואת a₁.

1. בין האיבר השלישי לשביעי יש 4 "צעדים" של d, ולכן: 23 − 11 = 4d
2. מכאן: 12 = 4d ולכן d = 3
3. חוזרים אחורה מ- a₃ שני צעדים: a₁ = 11 − 2 × 3 = 5
4. בדיקה: הסדרה 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 — ואכן a₇ = 23