חוקי חזקות — כל הכללים עם דוגמאות
חזקה היא דרך קצרה לכתוב כפל חוזר של אותו מספר: 2⁵ פירושו 2 כפול את עצמו 5 פעמים. חוקי החזקות הם קיצורי דרך שחוסכים את הכפל הארוך הזה — במקום לפתוח כל חזקה למכפלה, מספיק לחבר או לחסר את המעריכים. במדריך הזה נעבור על כל הכללים אחד-אחד, עם דוגמה מלאה לכל אחד.
דוגמאות פתורות שלב אחר שלב
חשבו: 2³ · 2⁴
- כשהבסיס זהה (2 בשני האגפים), כופלים חזקות על-ידי חיבור המעריכים
- 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷
- בדיקה בפתיחה מלאה: 2³ = 8, ו-2⁴ = 16, ואז 8 × 16 = 128
- התשובה: 2⁷ = 128
חשבו: 3⁵ ÷ 3²
- כשהבסיס זהה, מחלקים חזקות על-ידי חיסור המעריכים
- 3⁵ ÷ 3² = 3⁵⁻² = 3³
- בדיקה בפתיחה מלאה: 3⁵ = 243, ו-3² = 9, ואז 243 ÷ 9 = 27
- התשובה: 3³ = 27
חשבו: (3²)⁴
- כשיש חזקה על חזקה, כופלים את המעריכים זה בזה: 2 × 4 = 8
- לכן (3²)⁴ = 3⁸
- בדיקה חלקית: 3² = 9, ו-9⁴ = 6,561, וגם 3⁸ = 6,561 — אותה תוצאה בדיוק
- התשובה: 3⁸ = 6,561
חשבו: 5⁻²
- מעריך שלילי אומר "הופכים לשבר": מעבירים את הבסיס למכנה והמעריך הופך לחיובי
- 5⁻² = 1 ÷ 5²
- מחשבים את המכנה: 5² = 25
- התשובה: 5⁻² = 1 ÷ 25 = 0.04
עכשיו נסו בעצמכם
שאלות נפוצות
למה כל מספר בחזקת אפס שווה 1?
אפשר לראות זאת מכלל החילוק: xᵃ ÷ xᵃ תמיד שווה 1 (כל מספר חלקי עצמו), ולפי כלל החיסור במעריכים xᵃ ÷ xᵃ = xᵃ⁻ᵃ = x⁰. משתי הדרכים מתקבל אותו ביטוי, ולכן x⁰ = 1 לכל בסיס שאינו אפס.
מה זו חזקה שלילית?
מעריך שלילי הופך את הבסיס לשבר: x⁻ⁿ שווה ל-1 חלקי xⁿ. למשל 2⁻³ שווה ל-1 חלקי 8, כלומר שמינית. ככל שהמעריך השלילי גדול יותר בערכו המוחלט, המספר קטן יותר.
מה עושים כשהבסיסים שונים?
חוקי הכפל והחילוק (חיבור וחיסור מעריכים) עובדים רק כשהבסיס זהה בשני האגפים. אם הבסיסים שונים אבל המעריך זהה — למשל 2³ · 5³ — אפשר להשתמש בכלל חזקת מכפלה: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ. אם גם הבסיס וגם המעריך שונים, בדרך כלל צריך לחשב כל חזקה בנפרד.
מה הקשר בין שורש לחזקה?
שורש הוא חזקה עם מעריך שברי: השורש הריבועי של x שווה ל-x בחזקת חצי, והשורש השלישי (המעוקב) שווה ל-x בחזקת שליש. בזכות זה כל חוקי החזקות — כולל כפל וחילוק מעריכים — עובדים גם על שורשים.
✍️ נכתב על ידי צוות MathHeroנבדק מול תוכנית הלימודים של משרד החינוךעודכן לאחרונה: