איך חוקרים פונקציה — שלבי החקירה

חקרו את הפונקציה f(x) = x² − 4x + 3

1. תחום הגדרה: פונקציה פולינומית מוגדרת לכל x
2. חיתוך עם ציר ה-y: מציבים x = 0, מקבלים f(0) = 3 — הנקודה (0,3)
3. חיתוך עם ציר ה-x: פותרים x² − 4x + 3 = 0, מפרקים ל- (x − 1)(x − 3) = 0, ומקבלים x = 1 או x = 3 — הנקודות (1,0) ו-(3,0)
4. מקדם ה-x² חיובי (1), כך שהפרבולה פונה כלפי מעלה: הקודקוד הוא נקודת מינימום, באמצע בין השורשים — x = 2, ואז f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, כלומר (2,−1); הפונקציה יורדת עד x = 2 ועולה אחריו

מצאו את נקודות הקיצון של f(x) = x³ − 3x

1. גוזרים: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)
2. משווים לאפס כדי למצוא נקודות חשודות: x = −1 או x = 1
3. בודקים סימן הנגזרת: לפני x = −1 היא חיובית (עולה), בין −1 ל-1 היא שלילית (יורדת), ואחרי 1 היא חיובית שוב (עולה) — כלומר x = −1 מקסימום מקומי ו-x = 1 מינימום מקומי
4. מציבים לקבלת ערכי y: f(−1) = −1 + 3 = 2, ו- f(1) = 1 − 3 = −2 — נקודת מקסימום (−1,2) ונקודת מינימום (1,−2)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = 1 חלקי (x − 2)

1. בשבר אי אפשר שהמכנה יהיה אפס, ולכן בודקים מתי x − 2 = 0
2. פותרים: x = 2
3. התשובה: תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים, פרט ל-x = 2

מצאו ואפיינו את נקודת הקיצון של f(x) = −x² + 2x + 3

1. גוזרים: f′(x) = −2x + 2, ומשווים לאפס: −2x + 2 = 0 נותן x = 1
2. בונים טבלת סימנים: עבור x קטן מ-1 (למשל x = 0) מתקבל f′(0) = 2, חיובי — הפונקציה עולה; עבור x גדול מ-1 (למשל x = 2) מתקבל f′(2) = −2, שלילי — הפונקציה יורדת
3. המעבר מעלייה לירידה מזהה נקודת מקסימום ב-x = 1
4. מציבים לערך ה-y: f(1) = −1 + 2 + 3 = 4 — נקודת המקסימום היא (1,4)