אלגברה — כיתה ט׳

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2 שעות — ביחד הן מכסות 60 + 90 = 150 ק״מ בשעה. זמן פגישה: 300 ÷ 150 = 2 שעות.
2. 4 — a₁(1 + 3 + 9) = 13a₁ = 52 → a₁ = 4.
3. x = −3 — (x + 3)² = 0, לכן x = −3 (פתרון כפול).
4. 12 — הכפילו שני הצדדים ב־3: 2x = 24. חלקו ב־2: x = 12.
5. x = 2 או x = 1/2 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 2, x₂ = 1/2.
6. 5√2 — √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2.
7. 6299 ש״ח — A = 5000 · (1.08)³ = 5000 · 1.259712 ≈ 6299 ש״ח.
8. 30 × 15 מ׳ — גדר: 2y + x = 60. שטח = xy = x(60−x)/2. נגזרת: (60−2x)/2 = 0 ⟹ x = 30. y = 15.
9. x = 0 או x = −1 — x(x + 1) = 0. לכן x = 0 או x = −1.
10. x = 2, y = 3 — מהשנייה y=2x−1. הצבה: 6x+5(2x−1)=27, 16x=32, x=2, y=3.
11. x < −1 או x > 1 — עבור x ≥ 1: x − 1 < x² → x² − x + 1 > 0 (תמיד). עבור x < 1: 1 − x < x² → x² + x − 1 > 0 → x < (−1 − √5)/2 (כלומר x < −1 בקירוב). לכן x < −1 או x ≥ 1.
12. 3 — x³ + 2x + x³ − x² = 2x³ − x² + 2x. הדרגה הגבוהה ביותר היא 3.
13. (3, −4) — x_v = 6/2 = 3. y_v = 9 − 18 + 5 = −4.
14. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), כאשר Δ = b² − 4ac הוא הדיסקרימיננט.
15. 18 — 2 · 3² = 2 · 9 = 18.
16. 0 — Δ = b² − 4ac = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד.
17. x = 2 או x = −5 — כאשר מכפלה = 0, אחד הגורמים מתאפס. x − 2 = 0 → x = 2, או x + 5 = 0 → x = −5.
18. −2 ≤ x ≤ 3 — (x − 3)(x + 2) ≤ 0. שורשים: x = 3 ו־x = −2. הביטוי ≤ 0 בין השורשים: −2 ≤ x ≤ 3.
19. 2x − 3 — 2x² + x − 6 = (2x − 3)(x + 2). לכן חלוקה ב-(x + 2) נותנת 2x − 3.
20. x = 4, y = 3 — מהמשוואה הראשונה: y = 2x − 5. מציבים בשנייה: x + 2(2x−5) = 10 → 5x = 20 → x = 4. y = 3.