אלגברה — כיתה י"א · 3 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 2$ או $x = 9$ — $a=1, b=-11, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{11 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 9$.
2. 3 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ לשעה. הזמן $= 1$ חלקי $\frac{1}{3} = 3$ שעות.
3. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
4. 100,000 ₪ — גורם השינוי הכולל הוא $0.95^2\cdot1.02=0.9025\cdot1.02=0.92055$. לכן $M_0\cdot0.92055=92055$, ומכאן $M_0=92055/0.92055=100{,}000$ ₪.
5. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
6. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
7. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
8. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 6x + 9 - 9 = x^{2} + 6x$.
9. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
10. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
11. $x = 7$ — נעביר את -5 לאגף ימין: $2x = 9 + 5 = 14$. נחלק ב-$2: x = \frac{14}{2} = 7$.
12. עקומה עולה שקצב העלייה שלה (השיפוע) הולך וגדל ככל שהזמן מתקדם — מכיוון ש-$q=1.06>1$, הפונקציה עולה, וכיוון שהגידול הוא באחוז קבוע מבסיס גדל, קצב העלייה (התוספת בש"ח לכל שנה) הולך וגדל — הגרף הוא עקומה 'משתפלת כלפי מעלה' (קמורה), בניגוד לקו ישר שמאפיין גידול ליניארי בקצב קבוע.
13. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
14. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
15. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
16. ירידה של 5% בשנה (q=0.95) — $q^2=\dfrac{180{,}500}{200{,}000}=0.9025$, ולכן $q=\sqrt{0.9025}=0.95$ — ירידה שנתית של $5\%$. הטעות $9.75\%$ מתקבלת מהתייחסות לשינוי הכולל של שתי השנים כאילו הוא שינוי של שנה אחת.
17. 10% בשנה — גורם השינוי הכולל הוא $1+0.21=1.21$. אם $q$ הוא גורם השינוי השנתי, אז $q^2=1.21$, ומכאן $q=1.1$, כלומר עלייה של $10\%$ בשנה. בדיקה: $1.1^2=1.21$, בדיוק עלייה כוללת של $21\%$.
18. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
19. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.
20. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.