אלגברה — כיתה י"ב · 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 5$ או $x = -1$ — $2x-4 = 6$ נותן $x=5$; $2x-4 = -6$ נותן $x=-1$.
2. $4$ — $\log_2[x(x-2)] = 3$, לכן $x(x-2) = 8$, $x^2-2x-8=0$, $x=4$ או $x=-2$. הפתרון $x=-2$ נפסל (תחום הגדרה דורש $x>2$). לכן $x=4$.
3. $81$ — $x = 3^4 = 81$.
4. $x = \pm 2$ — $16 = 2^4$, לכן $x^2 = 4$ ומכאן $x = \pm 2$.
5. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{3} 27$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $3$ כדי לקבל $27$. מכיוון ש-$3^{3} = 27$, התשובה היא $3$.
6. $2$ — $81 = 3^4$, לכן $2x = 4$ ומכאן $x = 2$.
7. $a + 2$ — $\log_2 12 = \log_2(4\cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + a$.
8. $-2 < x < 2$ — מכפילים ב-$-1$ והופכים: $x^2 - 4 < 0$, שלילי בין השורשים $\pm 2$. לכן $-2 < x < 2$.
9. $m = \pm 3$ — $\Delta = 4m^2 - 36 = 0$, $m^2 = 9$, $m = \pm 3$.
10. $(3,4)$ ו-$(-4,-3)$ — מציבים $y = x+1$: $x^2 + (x+1)^2 = 25$, $2x^2+2x+1 = 25$, $2x^2+2x-24=0$, $x^2+x-12=0$, $x=3$ או $x=-4$. עבור $x=3$: $y=4$; עבור $x=-4$: $y=-3$.
11. $m > 1$ — אין פתרון ממשי כאשר $\Delta < 0$: $4 - 4m < 0$, $m > 1$.
12. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{10} 100$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $10$ כדי לקבל $100$. מכיוון ש-$10^{2} = 100$, התשובה היא $2$.
13. $2$ — מקרה $x+1 \geq 0$: $x+1 = 2x-1$, $x = 2$ (תקין, $\geq -1$, וגם $2x-1=3>0$). מקרה $x+1<0$: $-(x+1) = 2x-1$, $-x-1=2x-1$, $x=0$, אך זה סותר $x<-1$ — נפסל. לכן $x=2$.
14. $13$ — $x + 3 = 2^4 = 16$, לכן $x = 13$. בדיקה: $x+3 = 16 > 0$, תקין.
15. $0$ — $\ln 1 = 0$ כי $e^0 = 1$.
16. $-3 \leq x \leq 5$ — $-4 \leq x-1 \leq 4$, מוסיפים $1$: $-3 \leq x \leq 5$.
17. $x = 4$ או $x = -1$ — $x^2 = 3x+4$, $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$. בדיקה: עבור $x=4$, $x^2=16>0$ ו-$3x+4=16>0$ — תקין; עבור $x=-1$, $x^2=1>0$ ו-$3x+4=1>0$ — תקין. שני הפתרונות מתקבלים.
18. $5$ — $2x-1 = 9$, $2x = 10$, $x = 5$. בדיקה תקינה.
19. $8$ — $16^{3/4} = (16^{1/4})^3 = 2^3 = 8$.
20. $2$ — ערך מוחלט שווה $0$ רק כאשר הביטוי בפנים שווה $0$: $3x-6 = 0$, $x = 2$.