אלגברה — כיתה י"ב · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $-6<x<10$ — $-8<x-2<8$ ⇐ $-6<x<10$.
2. $3$ — $27=3^{3}$, ולכן $\log_{3} 27=3$.
3. $x=0.5$ — $4^x=2^{2x}$ ו-$2=2^{1}$, ולכן $2x=1$ ⇐ $x=0.5$.
4. $x=5,y=3$ או $x=3,y=5$ — x,y הם שורשי $t^2-8t+15=0$, כלומר 5 ו-3.
5. $x\leq 5$ — $2x\leq 10$ ⇐ $x\leq 5$.
6. $x=9, x=1$ — $2x-10=8$ ⇐ $x=9$, או $2x-10=-8$ ⇐ $x=1$.
7. 3 שורשים, השורש הממשי הוא $z=-1$ — למשוואה $z^3=c$ (עם $c\neq0$) יש תמיד 3 פתרונות מרוכבים שונים. נכתוב $-1=1(\cos180^{\circ}+i\sin180^{\circ})$. השורשים בזוויות $\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{3}$ עבור $k=0,1,2$ הם $60^{\circ},180^{\circ},300^{\circ}$. השורש בזווית $180^{\circ}$ הוא $\cos180^{\circ}+i\sin180^{\circ}=-1$ - הפתרון הממשי היחיד.
8. $-2<x<8$ — $-5<x-3<5$ ⇐ $-2<x<8$.
9. $2$ — $16=4^{2}$, ולכן $\log_{4} 16=2$.
10. $-2i$ — $(1-i)^2 = 1-2i+i^2 = 1-2i-1=-2i$. שים לב ש-$i^2=-1$ ולא $+1$.
11. $x=6,y=3$ או $x=3,y=6$ — x,y הם שורשי $t^2-9t+18=0$, כלומר 6 ו-3.
12. $x=0, x=2$ — $t=3^x$: $t^2-10t+9=0$ ⇐ $(t-1)(t-9)=0$ ⇐ $t=1$ ($x=0$) או $t=9$ ($x=2$).
13. $x=4.5$ — $4^x=2^{2x}$ ו-$512=2^{9}$, ולכן $2x=9$ ⇐ $x=4.5$.
14. $5$ — $\log_2 8 = 3$ ו-$\log_3 9 = 2$, ולכן הסכום $3+2=5$.
15. $5$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
16. $x=3,y=4$ או $x=4,y=3$ — $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ ⇐ $49=25+2xy$ ⇐ $xy=12$. עם $x+y=7$: שורשי $t^2-7t+12=0$ הם 3 ו-4.
17. $x=8$ — $x=2^{3}=8$.
18. $x=4,y=3$ או $x=3,y=4$ — x,y הם שורשי $t^2-7t+12=0$, כלומר 4 ו-3.
19. אין פתרון — פונקציה מעריכית $2^x$ חיובית תמיד, ולכן לעולם אינה שווה 0. אין פתרון.
20. $x\leq 2$ או $x\geq 6$ — $(x-2)(x-6)\geq 0$ — חיובי או אפס מחוץ לשורשים 2,6.