הסתברות — כיתה י"ב · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{5}{18}$ — ללא החזרה:$ P=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{5}{18}$.
2. $6$ — מספר הצירופים הוא $\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = 6$.
3. $\frac{2}{5}$ — לפי הגדרת הסתברות מותנית $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{2}{5}$.
4. $3$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=16\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=3$.
5. $210$ — מספר הצירופים הוא $\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210$.
6. $6$ — מספר הצירופים הוא $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$.
7. $70$ — מספר הצירופים הוא $\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = 70$.
8. $\frac{8}{27}$ — לפי ההתפלגות הבינומית $P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27}$.
9. $\frac{9}{2}$ — בהתפלגות בינומית $V(X)=np(1-p)=18\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$.
10. $\frac{125}{324}$ — לפי ההתפלגות הבינומית $P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3}=\frac{125}{324}$.
11. $\frac{1}{6}$ — מספר הזוגות שסכומם $7$ הוא $6$ מתוך $36$ אפשרויות שוות הסתברות$,$ ולכן ההסתברות היא $\frac{1}{6}$.
12. $5$ — תוחלת היא סכום משוקלל:$ E(X)=3\cdot \frac{1}{3}+6\cdot \frac{2}{3}=5$.
13. $\frac{1}{9}$ — במאורעות בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$.
14. $\dfrac{1}{36}$ — מאורעות בלתי-תלויים: $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$.
15. $\frac{11}{5}$ — תוחלת היא סכום משוקלל:$ E(X)=1\cdot \frac{2}{5}+3\cdot \frac{3}{5}=\frac{11}{5}$.
16. $3$ — תוחלת היא סכום משוקלל:$ E(X)=2\cdot \frac{2}{3}+5\cdot \frac{1}{3}=3$.
17. $\frac{1}{7}$ — במאורעות בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{7}$.
18. $\frac{1}{3}$ — ללא החזרה:$ P=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}$.
19. $\frac{1}{5}$ — במאורעות בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{5}$.
20. $\frac{5}{16}$ — לפי ההתפלגות הבינומית $P(X=3)=\binom{6}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{5}{16}$.