חזקות — כיתה י"ב · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $5$ — $\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5$.
2. $x=\frac{1}{5}$ — $x=5^{-1}=\frac15$.
3. $x=1$ — $2^{2x}=2^{x+1}\Rightarrow 2x=x+1\Rightarrow x=1$.
4. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 1=0$ כי הבסיס בחזקת 0 נותן את המספר.
5. $x^5$ — חוק מנת חזקות: $\frac{x^7}{x^2}=x^{7-2}=x^5$.
6. $4$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_3 81=4$ כי הבסיס בחזקת 4 נותן את המספר.
7. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_5 1=0$ כי הבסיס בחזקת 0 נותן את המספר.
8. $-2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_3 \frac{1}{9}=-2$ כי הבסיס בחזקת -2 נותן את המספר.
9. $x^{10}$ — חזקה של חזקה: $(x^2)^5=x^{10}$.
10. $-1$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 \frac{1}{2}=-1$ כי הבסיס בחזקת -1 נותן את המספר.
11. $x=8$ — $\log_2 x=3\Rightarrow x=8$.
12. $\frac{1}{3}$ — $27^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac13$.
13. $\frac{4}{3}$ — $\log_8 16=\frac{\log_2 16}{\log_2 8}=\frac{4}{3}$.
14. $x=0$ — $e^0=1$, ולכן $x=0$. הלוגריתם הטבעי של 1 הוא $\ln 1=0$, ולכן $x=\ln 1=0$.
15. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{10} 1000=3$ כי הבסיס בחזקת 3 נותן את המספר.
16. $x=1$ — $x=e^0=1$.
17. $x=4$ — $81=3^4$, לכן $3^x=3^4$ ומכאן $x=4$.
18. $\log_a \frac{x^3}{y}$ — $3\log_a x-\log_a y=\log_a x^3-\log_a y=\log_a\frac{x^3}{y}$.
19. $5$ — $25^{1/2}=\sqrt{25}=5$.
20. $x=e^2$ — הלוגריתם הטבעי $\ln x$ הוא הלוגריתם בבסיס $e$, כלומר $\ln x = \log_e x$. לכן המשוואה $\ln x = 2$ שקולה ל-$\log_e x = 2$. על פי הגדרת הלוגריתם, $\log_e x = 2$ אם ורק אם $x = e^2$. ניתן גם להעלות את שני האגפים בחזקה: $e^{\ln x} = e^2$, ומכיוון ש-$e^{\ln x} = x$ מתקבל $x = e^2$.