חזקות — כיתה י"ב · 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{1}{8}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$.
2. $4$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{3} 3 + \log_{3} 27 = \log_{3} (3\cdot 27) = \log_{3} 81 = 4$.
3. $4$ — לפי חוק החזקה בלוגריתם: $2\log_{3} 9 = \log_{3} 9^{2} = 2 \cdot 2 = 4$.
4. $16$ — לפי הגדרת הלוגריתם: $\log_{4} x = 2$ פירושו $x = 4^{2} = 16$.
5. $x^{6}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{3})^{2} = x^{3 \cdot 2} = x^{6}$.
6. $3$ — מעריך רציונלי: $27^{\frac{1}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^{1} = 3$.
7. $x^{15}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{5})^{3} = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.
8. $6$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{2} 4 + \log_{2} 16 = \log_{2} (4\cdot 16) = \log_{2} 64 = 6$.
9. $4$ — $\sqrt[3]{64}$ הוא המספר שבחזקת $3$ נותן $64$: כי $4^{3} = 64$, ולכן $\sqrt[3]{64} = 4$.
10. $x^{8}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{2})^{4} = x^{2 \cdot 4} = x^{8}$.
11. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $3$: $9 = 3^{2}$, ולכן $3^{x} = 3^{2}$ ומכאן $x = 2$.
12. $2$ — לפי חוק חיסור לוגריתמים: $\log_{10} 10000 - \log_{10} 100 = \log_{10} \frac{10000}{100} = \log_{10} 100 = 2$.
13. $x^{10}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{5} \cdot x^{5} = x^{5+5} = x^{10}$.
14. $x^{8}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{4} \cdot x^{4} = x^{4+4} = x^{8}$.
15. $4.5 \cdot 10^{4}$ — כתיב מדעי: מספר בצורה $a \cdot 10^{n}$ כאשר $1 \le a < 10$. כאן $45000 = 4.5 \cdot 10^{4}$.
16. $x^{12}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{2})^{6} = x^{2 \cdot 6} = x^{12}$.
17. $2$ — מעריך רציונלי: $32^{\frac{1}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^{1} = 2$.
18. $100$ — $10^{2} = 10\cdot 10 = 100$.
19. $3$ — $\log_{3} 27 = 3$ כי $3^{3} = 27$.
20. $6$ — $\log_{2} 64 = 6$ כי $2^{6} = 64$.