פונקציות — כיתה י"ב · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $18$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $9-(-9)=18$, החלק המדומה $0$. התוצאה $18$.
2. $i$ — השארית של $21$ בחלוקה ב-$4$ היא $1$, ולכן $i^{21}=i^{1}=i$.
3. $8 - 4i$ — נפתח סוגריים: $(2 + 2i)(1 - 3i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-3)i + 2i\cdot1 + 2i\cdot-3i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -6i^2 = 6$. החלק הממשי: $2 + 6 = 8$, החלק המדומה: $-4i$. התוצאה: $8 - 4i$.
4. $-6 - 4i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(-2) - (4) = -6$ עבור הממשי, $(-3) - (1) = -4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $-6 - 4i$.
5. $3 + 5i$ — נפתח סוגריים: $(4 + i)(1 + i) = 4\cdot1 + 4\cdot(1)i + 1i\cdot1 + 1i\cdot1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $4 - 1 = 3$, החלק המדומה: $5i$. התוצאה: $3 + 5i$.
6. $x = -1 \pm i$ — לפי נוסחת השורשים, המבחין שלילי ולכן הפתרונות מרוכבים. החלק הממשי של הפתרון הוא $-1$ והחלק המדומה $\pm 1i$. לכן $x = -1 \pm i$.
7. $7$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{7^2+0^2}=\sqrt{49+0}=\sqrt{49}=7$.
8. $1-i$ — מכפילים בצמוד המכנה $1-i$: $\dfrac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2-2i}{2}=1-i$.
9. $2 + i$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{3} = 3$. המכנה הופך לממשי: $3^2+0^2=9$. לאחר הפישוט מקבלים $2 + i$.
10. $x=e$ — לפי כלל המנה: $f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln x \cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$. מאפסים את המונה: $1-\ln x=0 \Rightarrow \ln x=1 \Rightarrow x=e$.
11. $x=\pm 5i$ — $x^{2}=-25$, ולכן $x=\pm 5i$.
12. $10$ — $\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
13. $5+5i$ — $3+6i-i-2i^{2}=3+5i+2=5+5i$.
14. $10i$ — נפתח סוגריים: $(5)(2i) = 5\cdot0 + 5\cdot(2)i + 0i\cdot0 + 0i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 0i^2 = 0$. החלק הממשי: $0 + 0 = 0$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $10i$.
15. $x=1\pm 2i$ — לפי הנוסחה: $x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.
16. $2 + 11i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $6-(4)=2$, החלק המדומה $11$. התוצאה $2 + 11i$.
17. $3 - 4i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=3$, $b=4$, ולכן הצמוד הוא $3 - 4i$.
18. $2$ — זהו מכפלת מספר בצמודו: $(1+i)(1-i)=1^{2}-i^{2}=1-(-1)=2$.
19. $10e^{2x}$ — $(5e^{2x})'=5 \cdot 2e^{2x}=10e^{2x}$.
20. $53$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{784+2025}=\sqrt{2809}=53$.