פונקציות — כיתה י"ב · 3 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 2}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.
2. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 1 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + 0 = 1 + 3 + 0 = 4$.
3. 3 יחידות, רווח 26 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 26$ ש"ח.
4. $y = x - 2$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $1 = 1 \cdot (3) + b$, ומכאן $b = -2$. לכן המשוואה: $y = x - 2$.
5. לאחר 3 שניות — הכדור פוגע בקרקע כאשר $f(t)=0$: $-5t^2+10t+15=0$. מחלקים ב-$-5$: $t^2-2t-3=0$, ומפרקים: $(t-3)(t+1)=0$, ולכן $t=3$ או $t=-1$. מכיוון ש-$t$ מייצג זמן, הוא חייב להיות אי-שלילי, ולכן הפתרון $t=-1$ נפסל כלא הגיוני. הכדור פוגע בקרקע לאחר 3 שניות.
6. $(3, 11)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (3)^{2} + 6 \cdot (3) + 2 = 11$. הקודקוד: $(3, 11)$.
7. $y = -5x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{1 - -4}{-1 - 0} = -5$. נציב נקודה: $b = -4 - (-5)(0) = -4$. המשוואה: $y = -5x - 4$.
8. $(0, 5)$ — משווים: $1x + 5 = 3x + 5$. מכאן $-2x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot (0) + 5 = 5$. נקודת החיתוך: $(0, 5)$.
9. x < −3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -3$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −3.
10. 0 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 6}{-5 - 0} = 0 / -5 = 0$.
11. $(6, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 2x + -12$, ומכאן $x = 6$. הנקודה היא $(6, 0)$.
12. 20 מטר — הגובה ההתחלתי מתקבל מנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$y$, כלומר בהצבת $t=0$: $f(0)=-5(0)^2+15(0)+20=20$. משמעות הדבר היא שהאובייקט מתחיל את תנועתו מגובה של 20 מטרים מעל הקרקע, כלומר גובה הבניין.
13. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
14. 4 מטרים — הצבת $x=0$: $y(0)=-0.5\cdot0^2+3\cdot0+4=4$. הגובה ההתחלתי הוא האיבר החופשי בפונקציה.
15. הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק קטן יותר מהכדור לפי $g$ — מרחק המקסימום מתקבל מנוסחת שיעור ה-$x$ של קודקוד הפרבולה $x=-\frac{b}{2a}$. עבור $f$: $a=-2,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2$. עבור $g$: $a=-1,b=8$, כך ש-$x=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4$. מכיוון ש-$2<4$, הכדור לפי $f$ מגיע לגובה המקסימלי שלו במרחק אופקי קטן יותר. (בנוסף, $f(2)=11$ בעוד $g(4)=19$, כך שהגובה המקסימלי של $f$ דווקא קטן יותר — כך שהטענה השלישית שגויה.)
16. $(3, 0)$ — נציב $x = 3: y = 1 \cdot (3) + -3 = 0$. לכן הנקודה $(3, 0)$ נמצאת על הישר.
17. $(-1, 7)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = -1$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (-1)^{2} + -2 \cdot (-1) + 6 = 7$. הקודקוד: $(-1, 7)$.
18. x=3 — ערך ה-x של הקודקוד: $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\cdot(-0.5)}=-\dfrac{3}{-1}=3$.
19. $(-3, -13)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-3)^{2} + 6 \cdot (-3) + -4 = -13$. הקודקוד: $(-3, -13)$.
20. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + -6$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.