אלגברה — כיתה י"ב · 5 יח"ל

פתרונות

1. $-1$ — לפי הגדרת היחידה המדומה $i^2=-1$.
2. $3+2i$ — מחברים חלק ממשי וחלק מדומה בנפרד: $(2+1)+(3-1)i=3+2i$.
3. $5$ — $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
4. $x=5$ — $32 = 2^5$, ולכן $2^x = 2^5$ ומכאן $x=5$.
5. $x=3$ — $81=3^4$, ולכן $x+1=4$ ⇐ $x=3$.
6. $x=1.5$ — $125=5^3$, ולכן $2x=3$ ⇐ $x=1.5$.
7. $x=1.5$ — $4^x=2^{2x}$ ו-$8=2^3$, ולכן $2x=3$ ⇐ $x=1.5$.
8. $x=-3$ — $\frac{1}{8}=2^{-3}$, ולכן $x=-3$.
9. $x=3$ — בבסיס 3: $3^{2x}=3^{3(x-1)}$, ולכן $2x=3x-3$ ⇐ $x=3$.
10. $x=1, x=2$ — $x^2-3x=-2$ ⇐ $x^2-3x+2=0$ ⇐ $(x-1)(x-2)=0$ ⇐ $x=1$ או $x=2$.
11. $x=0, x=2$ — הצבה $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$ ⇐ $(t-1)(t-4)=0$ ⇐ $t=1$ או $t=4$. אז $2^x=1$ ⇐ $x=0$, או $2^x=4$ ⇐ $x=2$.
12. $x=0, x=2$ — $t=3^x$: $t^2-10t+9=0$ ⇐ $(t-1)(t-9)=0$ ⇐ $t=1$ ($x=0$) או $t=9$ ($x=2$).
13. אין פתרון — פונקציה מעריכית $2^x$ חיובית תמיד, ולכן לעולם אינה שווה 0. אין פתרון.
14. $x=32$ — לפי הגדרת הלוגריתם: $x=2^5=32$.
15. $x=10$ — $x-1=3^2=9$ ⇐ $x=10$.
16. $x=5$ — $\log[x(x-3)]=1$ ⇐ $x(x-3)=10$ ⇐ $x^2-3x-10=0$ ⇐ $(x-5)(x+2)=0$. $x=-2$ נפסל (תחום הגדרה $x>3$), ולכן $x=5$.
17. $x=2$ — $\log_2[x(x+2)]=3$ ⇐ $x(x+2)=8$ ⇐ $x^2+2x-8=0$ ⇐ $(x-2)(x+4)=0$. $x=-4$ נפסל ($x>0$), ולכן $x=2$.
18. $5$ — $\log_2 8 = 3$ ו-$\log_3 9 = 2$, ולכן הסכום $3+2=5$.
19. $x=5$ — בסיסים שווים ⇐ $2x-1=x+4$ ⇐ $x=5$ (בתחום ההגדרה).
20. $-4$ — $\frac{1}{16}=2^{-4}$, ולכן $\log_2 \frac{1}{16} = -4$.