מספרים שלמים — כיתה ט׳

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 — 3⁶ ≡ 1 (mod 7). 100 = 6·16+4. 3¹⁰⁰ ≡ 3⁴ = 81. 81 mod 7 = 81 − 77 = 4.
2. 22 מעלות — ההפרש: 4 − (−18) = 4 + 18 = 22 מעלות.
3. 6√3 — 2√3 + 5√3 − √3 = (2 + 5 − 1)√3 = 6√3.
4. −1000 — (−10)³ = (−10) · (−10) · (−10) = −1000. מעריך אי-זוגי שומר על הסימן השלילי.
5. 36 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². LCM = 2² · 3² = 36.
6. 13 ו-14 — n(n+1) = 182. √182 ≈ 13.5. נסה n=13: 13×14=182. ✓
7. √16 — √16 = 4, שהוא מספר שלם ולכן רציונלי. השורשים האחרים אינם של ריבועים שלמים ולכן אי-רציונליים.
8. 5√3 — √75 = √(25 · 3) = 5√3.
9. 17 — x ≡ 3 (mod 7): x = 7k+3. נציב ב־x ≡ 1 (mod 4): 7k+3 ≡ 1 → 7k ≡ −2 ≡ 2 (mod 4) → 3k ≡ 2 (mod 4) → k ≡ 2 (mod 4). k = 2: x = 14+3 = 17.
10. 970 מטר — ההפרש: 850 − (−120) = 850 + 120 = 970 מטר.
11. ab√(ab) — √(a²b) · √(ab²) = √(a²b · ab²) = √(a³b³) = ab√(ab).
12. −5 — מחלקים את שני האגפים ב-−4: x = 20 : (−4) = −5.
13. x ≥ 3 או x ≤ −7 — |x + 2| ≥ 5 פירושו x + 2 ≥ 5 (x ≥ 3) או x + 2 ≤ −5 (x ≤ −7).
14. −1/3 — ככל ששבר שלילי קרוב יותר לאפס הוא גדול יותר. −1/3 קרוב יותר לאפס מ-−1/2, ולכן −1/3 > −1/2.
15. 33 — מתחלקים ב-2: 50. ב-3: 33. ב-6: 16. לפי כלל ההכלה וההדחה: |2∪3| = 50 + 33 − 16 = 67. שאינם מתחלקים לא ב-2 ולא ב-3: 100 − 67 = 33.
16. x > 2/3 או x < −4 — ריבועים: (2x+1)² > (x−3)². פותחים: 4x²+4x+1 > x²−6x+9. מסדרים: 3x²+10x−8 > 0. שורשים: x = 2/3 ו-x = −4. הפתרון: x > 2/3 או x < −4.
17. 7/8 — המספר הנגדי מתקבל על ידי החלפת הסימן: הנגדי של −7/8 הוא 7/8.
18. 4 — 5⁶ ≡ 1 (mod 7) לפי משפט פרמה הקטן. 5⁸ = 5⁶ · 5² ≡ 25 ≡ 4 (mod 7).
19. −7°C — ירידה כוללת: 4 · 3 = 12 מעלות. 5 − 12 = −7, ולכן −7°C.
20. 1 — |−10 + 4| = |−6| = 6; |−3 − 2| = |−5| = 5; 6 − 5 = 1.