טריגונומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\dfrac{12}{13}$ — אלכסון הבסיס: $AC=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ ס"מ. לכן $\tan\alpha=\dfrac{CC'}{AC}=\dfrac{12}{13}$. $\dfrac{13}{12}$ מתקבל מהיפוך היחס, $\dfrac{12}{5}$ מחלוקה במקצוע בודד של הבסיס במקום באלכסון, ו-$\dfrac{5}{13}$ הוא ערך שאינו קשור לזווית $\alpha$ (ערך דמוי סינוס משולש אחר).
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. $\frac{\pi}{6}$ — $\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{2}$, ו-התחום של $\arccos$ הוא $[0,\pi]$.
4. 4 — אלכסון הריבוע: $d=3\sqrt2\cdot\sqrt2=6$, ולכן $OA=\frac{d}{2}=3$. במשולש הישר-זווית $SOA$: $SO^2+OA^2=SA^2$, כלומר $SO^2=5^2-3^2=25-9=16$, ולכן $SO=4$.
5. $1$ — $90^\circ$ כבר נמצא בתחום $[0^\circ,360^\circ)$, ולכן אין צורך בצמצום. על מעגל היחידה, הזווית $90^\circ$ מתאימה לנקודה $(0,1)$. ערך הסינוס שווה לקואורדינטת $y$ של הנקודה על המעגל, ולכן $\sin(90^\circ)=1$.
6. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $600^\circ$ אל $240^\circ$, ולכן $\sin(600^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
7. $4\sqrt{2}$ ס"מ — אלכסון הפאה: $\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ ס"מ. $9$ הוא אורך האלכסון הראשי של כל התיבה ($\sqrt{4^2+4^2+7^2}=\sqrt{81}=9$) — טעות של בלבול בין אלכסון פאה לאלכסון ראשי. $\sqrt{65}$ מתקבל מבחירת זוג מידות שגוי ($4,7$), ו-$8$ מתקבל מחיבור $4+4$ בלי להעלות בריבוע.
8. 5 — אלכסון הריבוע: $d=4\sqrt2\cdot\sqrt2=8$, ולכן $OC=\frac{d}{2}=4$. במשולש $SOC$ הישר-זווית ב-$O$: $SC^2=SO^2+OC^2=3^2+4^2=9+16=25$, ולכן $SC=5$.
9. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$.
10. $2$ — בתחום אחד יש שני פתרונות: $\frac\pi6$ ו-$\frac{5\pi}6$.
11. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
12. $x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$ — $\sin x=\frac12$ נותן $x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6$.
13. $\frac{\pi}{3}$ — מחזור $\tan(bx)$ הוא $\frac{\pi}{b}=\frac{\pi}{3}$.
14. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ — $\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45\cos30-\sin45\sin30=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.
15. $0$ — מצמצמים $540^\circ$ אל $180^\circ$, ולכן $\sin(540^\circ)=0$.
16. $\sin x$ — $\sin(\pi-x)=\sin x$.
17. $\tan 2x$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה ל-טנגנס, הביטוי שווה $\tan 2x$.
18. 6 — חצי אלכסון הבסיס: $OB=\frac{16}{2}=8$. במשולש הישר-זווית $SOB$: $SO^2=SB^2-OB^2=10^2-8^2=100-64=36$, ולכן $SO=6$.
19. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $120^\circ$ אל $120^\circ$, ולכן $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
20. $4$ — $2x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2}$: $0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}2$.