טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $6$ — האמפליטודה היא המקדם $6$; המספר $2$ משפיע רק על המחזור.
2. $-\frac{1}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
3. $\frac{1}{2}$ — הזווית $30^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
4. $1$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(225^\circ) = 1$.
5. $x=60^\circ,\ 120^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $60^\circ$ ו-$120^\circ$, כלומר $x=60^\circ,\ 120^\circ$.
6. $\frac{24}{25}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
7. $12$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\frac12 = 12$.
8. $6\sqrt{3}$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt{3}$.
9. $60^\circ$ — לפי חוק הקוסינוסים $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{25+64-49}{2\cdot5\cdot8} = \frac12$, ולכן $A = 60^\circ$.
10. $\frac{3}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הרביעי הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{3}{5}$.
11. $15$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\frac12 = 15$.
12. $\cos a\cos b + \sin a\sin b$ — לפי נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה, הביטוי שווה ל-$\cos a\cos b + \sin a\sin b$.
13. $x=30^\circ,\ 210^\circ$ — לטנגנס מחזור של $180^\circ$, ולכן הפתרונות הם $30^\circ$ ו-$210^\circ$, כלומר $x=30^\circ,\ 210^\circ$.
14. $-\frac{1}{2}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$.
15. $\tan x$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $\frac{\sin x}{\cos x}$ שווה ל-$\tan x$.
16. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
17. $\sqrt{3}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(240^\circ) = \sqrt{3}$.
18. $x=30^\circ,\ 330^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $30^\circ$ ו-$330^\circ$, כלומר $x=30^\circ,\ 330^\circ$.
19. $x = 360^\circ k$ — $\cos x = 1$ רק ב-$0^\circ$ (עד כדי סיבוב מלא), כלומר $x=360^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
20. $-\sqrt{3}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.