טריגונומטריה — כיתה י׳ · יסודות בגרות

מפתח תשובות ופתרונות

1. 45° — ממ-C מורידים אנך CE ל-AD. ED = BC − AD = 6. tan D = CE/ED = AB/6 = 6/6 = 1, לכן D = 45°.
2. tan α — לפי הגדרה: tan α = sin α / cos α.
3. 7√3 — tan B = AC/BC, לכן BC = AC/tan 30° = 7/(√3/3) = 7·3/√3 = 7√3.
4. 0° או 90° — בריבוע: 1 + 2sin α·cos α = 1, sin α·cos α = 0. או sin = 0 (α = 0°) או cos = 0 (α = 90°).
5. 5 — BC = AB · sin A = 10 · sin 30° = 10 · 1/2 = 5.
6. 10√3 מ' — h = 10·tan 60° = 10√3.
7. 24/5 — AB = 10 (פיתגורס). שטח = AC·BC/2 = 24, וגם = AB·CH/2 = 5·CH. לכן CH = 24/5.
8. 1 — (sin α + cos α)² = sin²α + 2·sin α·cos α + cos²α. הפחתת 2·sin α·cos α משאירה sin²α + cos²α = 1.
9. 2cos²α − 2sin²α — 1 = sin²α + cos²α. הביטוי = (sin²α + cos²α) − 2sin²α + cos²α − sin²α = 2cos²α − 2sin²α.
10. √2/4 — cos²α = 1 − 1/9 = 8/9, cos α = 2√2/3. tan α = (1/3)/(2√2/3) = 1/(2√2) = √2/4.
11. cos α + sin α — sin(90°−α) = cos α ו-cos(90°−α) = sin α. סכום: cos α + sin α.
12. 1 — sin 30° = 1/2 ו-cos 60° = 1/2. הסכום: 1/2 + 1/2 = 1.
13. 10 מ' — גובה = 20·sin 30° = 20·1/2 = 10.
14. sin α — cos α · (sin α/cos α) = sin α.
15. 30° — tan α = 1/√3 = √3/3, ולכן α = 30°.
16. 30° — במשולש ABC ישר זווית ב-B: tan(זווית BCA) = AB/BC = 4/(4√3) = √3/3, ולכן הזווית = 30°.
17. 12/5 — BC = 5. שטח = AB·AC/2 = 6 = BC·AD/2 = 5·AD/2. לכן AD = 12/5.
18. 10 — האלכסונים נחתכים באמצע וניצבים. הצלע = √(6² + 8²) = √100 = 10.
19. $6 + 6\sqrt{3}$ — במשולש ABD הישר-זווית: $\tan(30°) = \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{6}{BD}$, לכן $BD = \dfrac{6}{\tan(30°)} = 6\sqrt{3}$. במשולש ACD הישר-זווית: $\tan(45°) = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{6}{DC}$, לכן $DC = \dfrac{6}{\tan(45°)} = 6$. לכן $BC = BD + DC = 6\sqrt{3} + 6$.
20. 30√3 מ' — tan 60° = גובה/מרחק = h/30. h = 30·tan 60° = 30√3.