תרגול הסתברות — סיכויים, צירופים ומדגמים
הסתברות עוסקת בשאלה 'מה הסיכוי ש...' — מה הסיכוי שהקובייה תיפול על 6, מה הסיכוי לזכות בהגרלה, מה הסיכוי שיגשם מחר. ביער ההסתברות תתרגלו לחשב הסתברויות בסיסיות בעזרת הנוסחה 'מספר התוצאות הרצויות חלקי מספר התוצאות האפשריות', תכירו מאורעות תלויים ובלתי תלויים, ותלמדו להשתמש בעצי הסתברות. הנושא מתחיל בכיתה ו׳ עם בעיות פשוטות (מטבע, קובייה, כדורים בכד), מתפתח בכיתה ז׳ עם צירופים ובחירה ללא החזרה, ומגיע לבגרות בכיתה ח׳. הרמזים מסבירים איך לזהות את התוצאות האפשריות ואיך לבנות את הנוסחה הנכונה.
📚 מה לומדים כאן?
- חישוב הסתברות: רצוי לחלק לאפשרי
- מטבע, קובייה וכדורים בכד
- מאורעות תלויים ובלתי-תלויים
- עץ הסתברות וצירופים
- בעיות מילוליות מהחיים
שאלות נפוצות
מאיזו כיתה לומדים הסתברות?
הסתברות בסיסית נכנסת בכיתה ו׳ עם בעיות פשוטות של מטבע וקובייה. בכיתות ז׳–ח׳ מתקדמים לצירופים, בחירה ללא החזרה ומאורעות תלויים לקראת הבגרות.
איך מחשבים הסתברות?
מחלקים את מספר התוצאות הרצויות במספר התוצאות האפשריות. בקובייה, הסיכוי לקבל 4 הוא 1 מתוך 6, כי יש תוצאה רצויה אחת מתוך שש אפשריות.
מה ההבדל בין מאורע תלוי לבלתי-תלוי?
במאורעות בלתי-תלויים תוצאה אחת לא משפיעה על השנייה, כמו שתי הטלות מטבע. במאורעות תלויים יש השפעה — למשל שליפת כדור בלי להחזיר אותו משנה את הסיכויים בשליפה הבאה.
האם הסתברות יכולה להיות גדולה מ-1?
לא. הסתברות נעה בין 0 (בלתי אפשרי) ל-1 (ודאי). אפשר לבטא אותה גם באחוזים, מ-0% עד 100%, אבל לעולם לא מעבר לכך.
מדריך הסתברות מלא — מהבסיס ועד הבגרות
כל מה שצריך כדי להבין הסתברות: הסבר פשוט עם דוגמה, קוביות וכדורים בשק, מה לומדים בכל כיתה ובכל רמת בגרות, וסיכום נוסחאות.
מהי הסתברות — הסבר פשוט
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 (או בין 0% ל-100%) שמתאר עד כמה סביר שמאורע מסוים יקרה. ככל שהמספר גבוה יותר, כך המאורע סביר יותר. 0 פירושו שהמאורע בלתי אפשרי, ו-1 פירושו שהוא ודאי. הנוסחה הבסיסית של הסתברות היא: P(מאורע) = מספר התוצאות הרצויות, חלקי מספר כל התוצאות האפשריות. הנוסחה הזו תקפה רק כשכל התוצאות שוות-סיכוי — למשל בקובייה הוגנת, לא בקובייה מוטה.
בכיתה יש 30 תלמידים, 18 בנות ו-12 בנים. אם בוחרים תלמיד אקראי, מה ההסתברות שהוא בן? התוצאות הרצויות: 12 בנים. כל התוצאות האפשריות: 30 תלמידים. לכן P(בן) = 12/30 = 2/5 = 0.4, כלומר 40%.
כלל שימושי נוסף הוא הסתברות משלימה: P(לא A) = 1 − P(A). לדוגמה, אם ההסתברות לגשם מחר היא 0.3, ההסתברות שלא ירד גשם היא 0.7 — כי שני המאורעות המשלימים תמיד מסתכמים ל-1.
הסתברות עם קוביות
בקובייה הוגנת בת 6 פאות יש 6 תוצאות אפשריות (1 עד 6), וכולן שוות-סיכוי. לכן ההסתברות לכל מספר בודד היא 1/6. כדי לחשב הסתברות של תנאי (למשל “מספר זוגי”) סופרים כמה מהתוצאות מקיימות את התנאי.
מה ההסתברות לקבל מספר זוגי בהטלת קובייה? התוצאות הזוגיות הן 2, 4, 6 — שלוש תוצאות מתוך שש. לכן P(זוגי) = 3/6 = 1/2.
כשמטילים שתי קוביות יחד, יש 36 צירופים אפשריים (6 כפול 6), כי לכל תוצאה בקובייה הראשונה יש 6 אפשרויות בקובייה השנייה. הדרך הבטוחה ביותר לפתור שאלות כאלה היא לבנות טבלה של 6×6 עם כל הצירופים, ולסמן בה את התוצאות שמקיימות את התנאי.
מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שסכום התוצאות יהיה 7? הצירופים שסכומם 7 הם: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) — שישה צירופים מתוך 36 האפשריים. לכן P(סכום 7) = 6/36 = 1/6.
הסתברות כדורים בשק — עם החזרה ובלי החזרה
שאלות “כדורים בשק” (או כרטיסיות בקופסה) הן אחת התבניות הנפוצות ביותר בבחינות. תמיד מתחילים באותה שאלה: כמה כדורים מכל צבע, וכמה סה״כ. ההבדל המכריע הוא אם מחזירים את הכדור לשק לפני ההוצאה הבאה או לא.
עם החזרה — מאורעות בלתי-תלויים
אם מחזירים כל כדור לפני ההוצאה הבאה, ההרכב בשק לא משתנה — ולכן ההסתברות בכל הוצאה זהה, וההוצאות בלתי-תלויות זו בזו. את ההסתברות ששתי ההוצאות יקיימו תנאי מסוים מחשבים בכפל.
בשק 4 כדורים אדומים ו-6 כדורים כחולים (סה״כ 10). מוציאים כדור, מחזירים אותו, ומוציאים כדור נוסף. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים? כל הוצאה: P(אדום) = 4/10 = 2/5. שתי ההוצאות בלתי-תלויות, לכן: P(שניהם אדומים) = (2/5)·(2/5) = 4/25.
בלי החזרה — מאורעות תלויים
אם לא מחזירים את הכדור, כל הוצאה משנה את הכמות הכוללת בשק ואת כמות הצבע שהוצא — ולכן ההוצאות תלויות זו בזו: ההסתברות בהוצאה השנייה מחושבת מחדש מתוך מה שנשאר.
באותו שק (4 אדומים, 6 כחולים, סה״כ 10) מוציאים כדור בלי להחזיר, ואז עוד אחד. מה ההסתברות ששניהם אדומים? הכדור הראשון: P = 4/10. אחרי שהוצא אדום אחד, נשארו 3 אדומים מתוך 9 כדורים בסה״כ: P = 3/9. לכן P(שניהם אדומים) = (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15 — הסתברות נמוכה יותר מאשר עם החזרה, כי הסיכוי הצטמצם אחרי ההוצאה הראשונה.
כלל אצבע: כשמחפשים “וגם” (רצף מאורעות) — כופלים את ההסתברויות. בלי החזרה, כל מכפלה מחושבת מתוך המצב שנשאר אחרי ההוצאה הקודמת, לא מתוך המצב ההתחלתי.
הסתברות כיתה ח׳ — מה כולל התוכנית
בכיתה ח׳ נושא ההסתברות בונה על הבסיס שנלמד בכיתה ו׳-ז׳ ומעמיק אותו: הנוסחה P = רצוי חלקי אפשרי, הסתברות משלימה, מאורעות תלויים ובלתי-תלויים דרך דוגמאות של קוביות וכדורים בשק (עם וללא החזרה), ובעיות מילוליות שדורשות למנות בזהירות את כל התוצאות האפשריות — לפעמים בעזרת טבלה או תרשים עץ פשוט. זהו השלב שבו התלמידים לומדים להבחין בין “וגם” (כפל) ל“או” (חיבור).
אפשר לתרגל את כל התבניות האלה — קוביות, כדורים, מטבעות ובעיות מילוליות — עם רמזים מדורגים ובדיקה מיידית בעמוד תרגול הסתברות לכיתה ח׳, שמתאים גם לחזרה לפני מבחן וגם ללימוד ראשוני של הנושא.
הסתברות לבגרות: 3, 4 ו-5 יחידות
רמת העומק בנושא ההסתברות משתנה משמעותית בין מסלולי הבגרות. שלושתם חולקים את הבסיס (P = רצוי חלקי אפשרי, הסתברות משלימה), אבל כל רמה מוסיפה כלים נוספים.
הסתברות בגרות 3 יחידות
ב-3 יחידות מתמקדים בנוסחה הבסיסית, הסתברות משלימה, ומאורעות תלויים ובלתי-תלויים ברמה תיאורית — בעיקר דרך כדורים בכד ובעיות מילוליות פשוטות יחסית. עץ הסתברות מופיע לעיתים כתרשים עזר, אבל בלי הסתברות מותנית מלאה.
בכד 5 כדורים לבנים ו-3 שחורים. מוציאים כדור אחד באקראי. מה ההסתברות שהוא לבן? מה ההסתברות שהוא לא לבן? P(לבן) = 5/8. P(לא לבן) = 1 − 5/8 = 3/8 (או ישירות: 3 שחורים מתוך 8).
אפשר לתרגל שאלות ברמה הזו בעמוד הסתברות לבגרות 3 יחידות.
הסתברות בגרות 4 יחידות
ב-4 יחידות מוסיפים שני כלים מרכזיים: עץ הסתברות לחישוב מאורעות שקורים בשלבים (כל ענף מסומן בהסתברות שלו — לאורך מסלול כופלים, בין מסלולים מחברים), וטבלה דו-ממדית שממיינת אוכלוסייה לפי שני מאפיינים בו-זמנית (למשל מגדר וגיל, או צבע וגודל). שאלות 4 יחידות משלבות לרוב את שני הכלים האלה עם כלל הכפל למאורעות תלויים.
בקבוצה 60 תלמידים: 25 לומדים ספרדית, 20 לומדים צרפתית, ו-10 לומדים את שתי השפות. אם בוחרים תלמיד אקראי, מה ההסתברות שהוא לומד לפחות שפה אחת? P(ספרדית או צרפתית) = P(ספרדית) + P(צרפתית) − P(שתיהן) = 25/60 + 20/60 − 10/60 = 35/60 = 7/12.
אפשר לתרגל שאלות 4 יחידות, כולל עצי הסתברות וטבלאות דו-ממדיות, בעמוד הסתברות לבגרות 4 יחידות.
הסתברות בגרות 5 יחידות
ב-5 יחידות מצפים לשליטה מלאה בהסתברות מותנית P(B|A) = P(A וגם B) / P(A), בנוסחת ההסתברות הכוללת (חישוב הסתברות למאורע דרך פיצול לכמה “מסלולים” אפשריים), ולעיתים גם בשילוב הסתברות עם צירופים ותמורות באותה שאלה. השאלות ברמה הזו כתובות בניסוח פחות מודרך — צריך לזהות לבד אילו כלים רלוונטיים.
בכיתה 20 תלמידים: 12 בנות ו-8 בנים. מתוך הבנות, 3 גבוהות מ-170 ס״מ. בוחרים תלמיד אקראי, וידוע שהוא בת. מה ההסתברות שהיא גבוהה מ-170? זו הסתברות מותנית: מצמצמים את עולם המקרים לקבוצת הבנות בלבד. P(גבוהה מ-170 | בת) = 3/12 = 1/4.
אפשר לתרגל שאלות הסתברות 5 יחידות, כולל הסתברות מותנית ועצי הסתברות מלאים, בעמוד תרגול הסתברות לבגרות 5 יחידות.
נוסחאות הסתברות — סיכום
טבלת הנוסחאות המרכזיות שכדאי לדעת בעל-פה, מהבסיס ועד 5 יחידות:
| נוסחה | מתי משתמשים |
|---|---|
| P(A) = רצויים / אפשריים | בסיס — מאורעות שווי-סיכוי |
| P(לא A) = 1 − P(A) | הסתברות משלימה |
| P(A וגם B) = P(A)·P(B) | מאורעות בלתי-תלויים (עם החזרה) |
| P(A וגם B) = P(A)·P(B|A) | מאורעות תלויים (בלי החזרה) — 4-5 יח"ל |
| P(A או B) = P(A)+P(B)−P(A וגם B) | איחוד מאורעות — לא סופרים פעמיים |
| P(B|A) = P(A וגם B) / P(A) | הסתברות מותנית — 5 יח"ל |
שאלות נפוצות על הסתברות
מה זה הסתברות ואיך מסבירים אותה בקצרה?
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 שמתאר עד כמה סביר שמאורע יקרה — 0 אומר בלתי אפשרי, 1 אומר ודאי. מחשבים אותה לפי הנוסחה P = מספר התוצאות הרצויות חלקי מספר כל התוצאות האפשריות, כשכל התוצאות שוות-סיכוי. למשל, ההסתברות לקבל 'עץ' בהטלת מטבע היא 1/2.
מה לומדים בהסתברות כיתה ח׳?
בכיתה ח׳ מבססים את הנוסחה הבסיסית (רצוי חלקי אפשרי) על דוגמאות של קוביות, כדורים בשק וכרטיסיות, לומדים הסתברות משלימה (1 פחות ההסתברות למאורע), מתחילים עם מאורעות תלויים ובלתי-תלויים, ומתרגלים בעיות מילוליות שדורשות למנות את כל התוצאות האפשריות בעזרת טבלה או רשימה מסודרת.
אילו תרגילי הסתברות כיתה ח׳ הכי חשובים לתרגל?
הכי חשוב לתרגל שלוש קבוצות: הטלת קובייה או שתי קוביות יחד, הוצאת כדורים משק (עם החזרה ובלי החזרה), ובעיות עם הסתברות משלימה ('מה ההסתברות שלא...'). אלה התבניות שחוזרות הכי הרבה במבחנים ובבגרות.
מה כולל נושא ההסתברות בבגרות 3 יחידות?
ב-3 יחידות ההתמקדות היא בנוסחה הבסיסית, הסתברות משלימה, ומאורעות תלויים ובלתי-תלויים ברמה תיאורית — בעיקר כדורים בכד ובעיות מילוליות. עץ הסתברות מופיע לעיתים ברמה בסיסית, אבל בלי הסתברות מותנית מלאה.
מה ההבדל בין הסתברות 4 יחידות ל-5 יחידות?
ב-4 יחידות מוסיפים על הבסיס את עץ ההסתברות, טבלה דו-ממדית לשני מאפיינים, וכלל הכפל למאורעות תלויים. ב-5 יחידות מצפים לשליטה מלאה גם בהסתברות מותנית P(B|A), נוסחת ההסתברות הכוללת, ושילוב הסתברות עם צירופים ותמורות בשאלה אחת — ברמת קושי גבוהה יותר ועם פחות הכוונה בניסוח השאלה.
איך פותרים שאלות הסתברות עם כדורים בשק?
קודם סופרים כמה כדורים יש מכל צבע וכמה סה"כ — זה נותן את ההסתברות הראשונה. אם מחזירים את הכדור לפני ההוצאה הבאה, המספרים לא משתנים (מאורעות בלתי-תלויים). אם לא מחזירים, כל הוצאה משנה את הכמות הכוללת ואת כמות הצבע שהוצא — לכן ההסתברות בהוצאה השנייה מחושבת מחדש מתוך מה שנשאר.
איך פותרים שאלות הסתברות עם קוביות?
כותבים את כל 6 (או 36, בשתי קוביות) התוצאות האפשריות, ואז סופרים כמה מהן מקיימות את התנאי שנשאלים עליו. בשתי קוביות, הכי בטוח לבנות טבלה 6×6 של כל הצירופים האפשריים ולסמן בה את התוצאות הרצויות — כך לא מפספסים ולא סופרים פעמיים.