הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 שמתאר עד כמה סביר שמאורע יקרה — מחושבת לפי הנוסחה P = מספר המקרים הרצויים חלקי מספר המקרים האפשריים. מהבסיס הזה נבנה כל שאר הנושא: הסתברות משלימה, הסתברות מותנית, מאורעות בלתי תלויים, ובבגרות 5 יח"ל גם עצי הסתברות ונוסחת ההסתברות הכוללת.
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 (או בין 0% ל-100%) שמתאר עד כמה סביר שמאורע מסוים יקרה. הנוסחה הבסיסית: P(מאורע) = מספר המקרים הרצויים ÷ מספר המקרים האפשריים. ככל שהנושא מתקדם — מכיתה ו' ועד בגרות 5 יח"ל — אותה נוסחה נשארת הבסיס, ומתווספים עליה כלים: תרשים עץ, הסתברות מותנית, ונוסחת ההסתברות הכוללת. המדריך הזה עובר על כל השכבות, מהיסוד ועד סיכום נוסחאות ממוקד לבגרות 5 יח"ל.
הבסיס — הנוסחה שממנה הכל מתחיל
P(A) = מספר התוצאות שבהן קורה A, חלקי מספר כל התוצאות האפשריות. דוגמה: בקוביה הוגנת, ההסתברות לקבל מספר זוגי היא 3/6 = 1/2 (המספרים הזוגיים 2,4,6 מתוך שש אפשרויות). הנוסחה הזו תקפה רק כשכל התוצאות שוות-סיכוי — לפני שמציבים, תמיד בודקים שזה המקרה.
הסתברות משולבת — 'וגם' ו'או'
כשמחברים שני מאורעות במילה "וגם" (חיתוך), כשהם בלתי תלויים כופלים את ההסתברויות: P(A וגם B) = P(A)·P(B). לדוגמה, ההסתברות לקבל 'עץ' במטבע וגם '6' בקוביה, בזריקה אחת של כל אחד, היא (1/2)·(1/6)=1/12. כשמחברים במילה "או" (איחוד) מחברים את ההסתברויות ומחסירים את החיתוך כדי לא לספור פעמיים: P(A או B) = P(A)+P(B)−P(A וגם B).
דוגמה ל"או": בקוביה הוגנת, מה ההסתברות לקבל מספר זוגי או מספר גדול מ-4? זוגי: {2,4,6} — P=3/6. גדול מ-4: {5,6} — P=2/6. החיתוך (גם זוגי וגם גדול מ-4): {6} — P=1/6. סך הכול: 3/6+2/6−1/6=4/6=2/3.
מאורעות תלויים ובלתי תלויים
שני מאורעות בלתי תלויים כשההתרחשות של אחד לא משפיעה על הסיכוי של השני — למשל שתי זריקות מטבע נפרדות. שני מאורעות תלויים כשההתרחשות של אחד כן משנה את הסיכוי של השני — למשל משיכת שני קלפים ברצף בלי החזרה: אחרי שמשכו קלף ראשון, יש קלף אחד פחות בחפיסה, וזה משנה את ההסתברות למשיכה השנייה.
דוגמה למאורעות תלויים: בקופסה 5 כדורים אדומים ו-3 כחולים (סה"כ 8). מוציאים כדור בלי להחזיר, ואז עוד אחד. מה ההסתברות ששניהם אדומים? הראשון: 5/8. השני (אחרי שהוצא אדום, נשארו 4 אדומים מתוך 7): 4/7. יחד: (5/8)·(4/7)=20/56=5/14.
הסתברות מותנית
הסתברות מותנית שואלת: מה ההסתברות למאורע B, בהינתן שאנחנו כבר יודעים שמאורע A קרה? מסמנים P(B|A) וקוראים אותה "ההסתברות ל-B בהינתן A". הנוסחה: P(B|A) = P(A וגם B) / P(A). זהו הכלי המרכזי בבגרות 5 יח"ל לשאלות שבהן יש מידע חלקי על התוצאה.
דוגמה: בכיתה 20 תלמידים, 12 בנות ו-8 בנים. מתוך הבנות, 3 גבוהות מ-170 ס"מ. אם בוחרים תלמיד אקראי ויודעים שהוא בת, מה ההסתברות שהיא גבוהה מ-170? כאן לא צריך את הנוסחה המלאה — פשוט מסתכלים רק על קבוצת הבנות: 3 מתוך 12, כלומר P=3/12=1/4. זו בעצם המשמעות האינטואיטיבית של הסתברות מותנית: מצמצמים את "עולם המקרים האפשריים" רק לתת-הקבוצה שכבר ידועה.
עץ הסתברות
עץ הסתברות הוא כלי חזותי למאורעות שקורים בשלבים (למשל שתי הגרלות ברצף). כל ענף מסומן בהסתברות שלו, וכדי לחשב את ההסתברות למסלול שלם (רצף ענפים) כופלים את ההסתברויות לאורך המסלול. כדי לחשב את ההסתברות לתוצאה שיכולה לקרות במספר מסלולים שונים, מחברים את ההסתברויות של כל המסלולים הרלוונטיים.
סיכום נוסחאות לבגרות 5 יח"ל
| נוסחה | מתי משתמשים |
|---|---|
| P(A) = רצויים/אפשריים | בסיס — מאורעות שווי-סיכוי |
| P(לא A) = 1 − P(A) | מאורע משלים — קל יותר לחשב את ההפך |
| P(A וגם B) = P(A)·P(B) | מאורעות בלתי תלויים |
| P(A וגם B) = P(A)·P(B|A) | מאורעות תלויים (כלל הכפל הכללי) |
| P(A או B) = P(A)+P(B)−P(A וגם B) | איחוד מאורעות — נמנעים מספירה כפולה |
| P(B|A) = P(A וגם B) / P(A) | הסתברות מותנית |
השאלה הקריטית שצריך לשאול בכל תרגיל בגרות: האם המאורעות תלויים או בלתי תלויים? האם מדובר ב"וגם" (חיתוך, כפל) או ב"או" (איחוד, חיבור פחות חיתוך)? אם עונים נכון על שתי השאלות האלה, בחירת הנוסחה כמעט אוטומטית.
טעויות נפוצות
- לחבר במקום לכפול (או להפך) — "וגם" זה כפל, "או" זה חיבור פחות חיתוך.
- להתעלם מהתלות — במשיכה בלי החזרה, הסיכוי משתנה אחרי כל משיכה; להשתמש באותו מספר פעמיים זו טעות.
- בעץ הסתברות — לחבר לאורך אותו מסלול במקום לכפול.
- לשכוח שהסתברות מותנית מצמצמת את עולם המקרים — לא מחלקים בכל האוכלוסייה אלא רק בקבוצה הידועה.
סיכום
כל נושא ההסתברות — מהיסוד בכיתה ו' ועד בגרות 5 יח"ל — בנוי סביב נוסחה אחת בסיסית (רצויים חלקי אפשריים) ועוד חמש הרחבות: משלים, כפל למאורעות בלתי תלויים ותלויים, חיבור לאיחוד, והסתברות מותנית. אם שולטים בשש הנוסחאות בטבלה ויודעים לזהות מתי כל אחת רלוונטית, אפשר לפתור כמעט כל שאלת הסתברות בבגרות.
שאלות נפוצות
מה זה הסתברות בהסבר פשוט?
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 שאומר עד כמה סביר שמשהו יקרה. 0 אומר שזה בלתי אפשרי, 1 אומר שזה בטוח. מחשבים אותה לפי הנוסחה P = מספר המקרים הרצויים חלקי מספר המקרים האפשריים, כשכל התוצאות שוות-סיכוי.
מה סיכום הנוסחאות שצריך לדעת להסתברות 5 יחידות?
שש נוסחאות: P(A)=רצויים/אפשריים; משלים P(לא A)=1−P(A); כפל למאורעות בלתי תלויים P(A וגם B)=P(A)·P(B); כלל הכפל הכללי למאורעות תלויים P(A וגם B)=P(A)·P(B|A); איחוד P(A או B)=P(A)+P(B)−P(A וגם B); והסתברות מותנית P(B|A)=P(A וגם B)/P(A). כל שאלת בגרות בנויה על שילוב של הנוסחאות האלה.
מה ההבדל בין מאורעות תלויים לבלתי תלויים?
מאורעות בלתי תלויים — התרחשות של אחד לא משנה את הסיכוי של השני (למשל שתי זריקות מטבע נפרדות). מאורעות תלויים — התרחשות של אחד כן משנה את הסיכוי של השני (למשל משיכת שני כדורים בלי החזרה, כי הכמות בקופסה משתנה).
מתי כופלים ומתי מחברים הסתברויות?
כופלים כשרוצים "וגם" — שני מאורעות קורים יחד (חיתוך). מחברים כשרוצים "או" — לפחות אחד מהמאורעות קורה (איחוד), אבל צריך לחסר את החיתוך כדי לא לספור פעמיים: P(A או B)=P(A)+P(B)−P(A וגם B).
מה זה הסתברות מותנית?
הסתברות מותנית היא ההסתברות למאורע אחד, כשכבר ידוע שמאורע אחר קרה. מסמנים P(B|A) ומחשבים לפי P(A וגם B)/P(A). למעשה מצמצמים את קבוצת המקרים האפשריים רק לתוך המידע הידוע, ובודקים כמה מתוכם מקיימים גם את B.
אלפי שאלות הסתברות מהבסיס ועד בגרות — חינם, ללא הרשמה
תרגלו הסתברות עכשיו ←