סדרות — כיתה י"א · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $63$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=63$.
2. $\frac{9}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס, וסכומו $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}$.
3. $64$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{4}=1\cdot 4^{4-1}=64$.
4. $6250$ — בריבית דריבית הסכום אחרי $2$ שנים הוא $P(1+r)^t=4000\cdot(1+\frac{1}{4})^{2}=6250$ שקלים.
5. $30$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{2(2^{4}-1)}{2-1}=30$.
6. $62$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית היא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{13}=2+(13-1)\cdot 5=62$.
7. $128$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $8$ ומנה $2$. אחרי $4$ פרקי זמן: $8\cdot 2^{4}=128$.
8. $4$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס, וסכומו $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=4$.
9. $22$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית היא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{14}=9+(14-1)\cdot 1=22$.
10. $81$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{5}=1\cdot 3^{5-1}=81$.
11. $119$ — קודם נמצא את האיבר ה-$7$: $a_{7}=8+(7-1)\cdot 3=26$. סכום סדרה חשבונית: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(8+26)}{2}=119$.
12. $1250$ — בריבית דריבית הסכום אחרי $2$ שנים הוא $P(1+r)^t=800\cdot(1+\frac{1}{4})^{2}=1250$ שקלים.
13. $2$ — מחלקים ב-$n^2$: $2+\frac{1}{n}\to 2$.
14. $2k+1$ — האיבר הכללי הוא $2n-1$. עבור $n=k+1$ האיבר הוא $2(k+1)-1=2k+2-1=2k+1$. זהו ההפרש בין אגף שמאל של $k+1$ לאגף שמאל של $k$.
15. $13$ — מתחילים מ-$a_1=3$ ומוסיפים $5$ בכל צעד עד $a_{3}$: התוצאה היא $13$.
16. $135$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $5$ ומנה $3$. אחרי $3$ פרקי זמן: $5\cdot 3^{3}=135$.
17. $8$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס, וסכומו $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$.
18. $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ — בדקו: עבור $n=1$: $\dfrac{1\cdot2\cdot3}{3}=2$; עבור $n=2$: $\dfrac{2\cdot3\cdot4}{3}=8$; עבור $n=3$: $\dfrac{3\cdot4\cdot5}{3}=20$ — כל התוצאות תואמות לנתון.
19. $54$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{4}=2\cdot 3^{4-1}=54$.
20. $\frac{3125}{2}$ — בריבית דריבית הסכום אחרי $2$ שנים הוא $P(1+r)^t=1000\cdot(1+\frac{1}{4})^{2}=\frac{3125}{2}$ שקלים.