סדרות — כיתה י"ב · 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $100$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=19$, ולכן $S_{10} = \frac{10(1+19)}{2} = 100$.
2. $25$ — כל איבר הוא פי 5 מקודמו (סדרה הנדסית עם $q=5$): $a_{3}=1\cdot 5^{2}=25$.
3. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 18=2+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
4. $200$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=38$, ולכן $S_{10} = \frac{10(2+38)}{2} = 200$.
5. $12$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + 6\cdot 1 = 12$.
6. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 24=4+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
7. $80$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 5\cdot 2^{4} = 80$.
8. $30$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + 6\cdot 4 = 30$.
9. $3$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 13=1+4d \Rightarrow d=\frac{12}{4}=3$.
10. $2$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 12=4+4d \Rightarrow d=\frac{8}{4}=2$.
11. $\frac{9}{4}$ — זהו טור הנדסי עם $a_1=\frac{3}{2}$ ו-$q=\frac{1}{3}$. הסכום $\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{4}$.
12. $17$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + 6\cdot 2 = 17$.
13. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 22=2+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
14. $124$ — $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} = 4\cdot\frac{2^{5}-1}{2-1} = 4\cdot 31 = 124$. המסיח $62$ נובע מטעות של שימוש ב-$a_1=2$ (במקום $4$): $2\cdot\frac{2^5-1}{1}=62$. המסיח $128=2^7$ נובע מבלבול עם חישוב $2^n$ ישיר. המסיח $60=4\cdot(2^4-1)$ נובע משימוש ב-$n=4$ במקום $n=5$.
15. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 21=5+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
16. $484$ — $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} = 4\cdot\frac{3^{5}-1}{3-1} = 484$.
17. $2$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 11=3+4d \Rightarrow d=\frac{8}{4}=2$.
18. $4$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = 4$.
19. $2$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$.
20. $145$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=28$, ולכן $S_{10} = \frac{10(1+28)}{2} = 145$.