סדרות — כיתה י׳ · יסודות בגרות

מפתח תשובות ופתרונות

1. 6 — סמן b/q, b, bq. מכפלה = b³ = 216 ⟹ b = b₂ = 6.
2. 4506 — סדרה הנדסית: 1000, 1080, 1166.4, 1259.7. סכום ≈ 4506.1.
3. 91 — a₁ = 4, d = 3. a₇ = 4 + 6·3 = 22. S₇ = 7·(4+22)/2 = 7·26/2 = 7·13 = 91.
4. 2 — a₄ = a₁·q³ → 40 = 5q³ → q³ = 8 → q = 2.
5. 0 — כל האיברים שווים, ולכן d = a₂ − a₁ = 6 − 6 = 0. זוהי סדרה חשבונית קבועה.
6. 40 מ' — מסלול = 10 + 2·(6 + 3.6 + ...) = 10 + 2·6/(1−0.6) = 10 + 30 = 40 מ'.
7. 242 — Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1) = 2·(3⁵−1)/(3−1) = 2·(243−1)/2 = 2·242/2 = 242.
8. 80/9 — S₄ = 6·((1/3)⁴−1)/(1/3−1) = 6·(1/81−1)/(−2/3) = 6·(−80/81)·(−3/2) = 6·240/162 = 80/9.
9. 4 — a₅ = a₁ + 4d ⇒ 24 = 8 + 4d ⇒ 4d = 16 ⇒ d = 4.
10. 1/3 — q = 27 / 81 = 1/3. הסדרה קטֵנה פי 3 בכל צעד.
11. 320 — q³ = 80/10 = 8 → q = 2. a₇ = a₅·q² = 80·4 = 320.
12. 7 — Sₙ = n/2·(2·3 + (n−1)·4) = n/2·(6 + 4n − 4) = n/2·(4n + 2) = n(2n + 1). n(2n+1) = 105 → 2n² + n − 105 = 0 → n = 7.
13. 8 — a₅ = a₁ + 4d = a₁ + 8. a₁ + a₅ = a₁ + (a₁ + 8) = 2a₁ + 8 = 24 ⇒ 2a₁ = 16 ⇒ a₁ = 8.
14. 6 — a₂ = a₁·q ⇒ 12 = a₁·2 ⇒ a₁ = 6.
15. 22 — S₅ = 2·((−2)⁵−1)/(−2−1) = 2·(−32−1)/(−3) = 2·(−33)/(−3) = 2·11 = 22.
16. 0 — a₆ = 10 + (6−1)·(−2) = 10 + 5·(−2) = 10 − 10 = 0.
17. 2 — d = (34 − 14)/(9 − 4) = 20/5 = 4. a₁ = a₄ − 3d = 14 − 12 = 2.
18. 5 — a₃+a₇ = 2a₅ = 26? לא, נתון 30. נציב: 2a₁+8d=30 ו-a₁+4d=13. מהשני: 2a₁+8d=26 — סתירה? נציב: a₁+4d=13 ⟹ a₁=13−4d. a₃+a₇=(a₁+2d)+(a₁+6d)=2a₁+8d=2(13−4d)+8d=26. סתירה עם 30. נשתמש בנתון: 2a₁+8d=30, a₁+4d=13 ⟹ 2a₁+8d=26. הנתונים סותרים — נכון לאיבר אחר. נחליף ל-a₃+a₇=26: a₁=13−4d, d=2 ⟹ a₁=5.
19. 11 — a₄ = a₁ + 3d ⇒ 20 = a₁ + 9 ⇒ a₁ = 11.
20. 31000 — סדרה הנדסית: a₁=1000, q=2, n=5. S₅=1000·(2⁵−1)/(2−1)=1000·31=31000.