חזרה למבחן — כיתה ט׳

מפתח תשובות ופתרונות

1. 8x + 8 — (x+3)² = x²+6x+9; (x−1)² = x²−2x+1. ההפרש: (x²+6x+9)−(x²−2x+1) = 8x + 8.
2. 6 — (x − 1)(x − 5) = 0 → x = 1 או x = 5. סכום = 1 + 5 = 6.
3. (x − 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: a² − b² = (a − b)(a + b). כאן a = x, b = 3.
4. x = 5 או x = −1 — 2x − 4 = 6 → x = 5. 2x − 4 = −6 → 2x = −2 → x = −1.
5. 8 — ממוצע = 6. סטיות: (−4)²,(−2)²,0²,2²,4² = 16,4,0,4,16. ממוצעם: 40/5 = 8.
6. (0,0) ו־(2,4) — x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x−2) = 0. x = 0 נותן (0,0), x = 2 נותן (2,4).
7. 7 סמ״ר — x² = 49, לכן x = √49 = 7 ס״מ.
8. אמת — P → Q = שקר → שקר = אמת. ¬P ∨ Q = אמת ∨ שקר = אמת. אמת ↔ אמת = אמת. (הביטויים שקולים לוגית — תמיד שווים.)
9. 0 — Δ = b² − 4ac = 16 − 16 = 0. יש שורש כפול אחד.
10. 1/2 — sin(30°) = 1/2. זהו ערך טריגונומטרי בסיסי.
11. 12 — BD² + AD² = 169, DC² + AD² = 225. DC = 14 − BD. פותרים: BD = 5, AD = 12.
12. 11/12 — 2/3 = 8/12, 1/4 = 3/12. 8/12 + 3/12 = 11/12.
13. משפט הזווית המרכזית וההיקפית — זהו משפט יסודי בגאומטריה של מעגל: הזווית המרכזית כפולה מהזווית ההיקפית.
14. x⁸ — כפל חזקות אותו בסיס: x³ · x⁵ = x^(3+5) = x⁸.
15. 0.6 — P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0.4 = 0.6.
16. 2x(x − 2)(x + 2) — 2x³ − 8x = 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2).
17. Δ = −4, אין פתרונות ממשיים — Δ = 4² − 4·1·5 = 16 − 20 = −4. כאשר Δ < 0, אין פתרונות ממשיים.
18. 3.5 שעות — ביחד שעה: 1/6 + 1/4 = 5/12. נשאר 7/12. אורית לבד: (7/12) ÷ (1/6) = 3.5 שעות.
19. x = 1 או x = 5 — מהנוסחה: x = (6 ± √(36 − 20))/2 = (6 ± √16)/2 = (6 ± 4)/2. לכן x = 5 או x = 1.
20. $(0, -1)$ ו-$(2, 5)$ — משווים את שתי המשוואות: $2x^2 - x - 1 = x^2 + x - 1$. מסדרים: $x^2 - 2x = 0$. מפרקים לגורמים: $x(x-2) = 0$, ולכן $x = 0$ או $x = 2$. עבור $x = 0$: $y = 2(0)^2 - 0 - 1 = -1$, נקודה $(0, -1)$. עבור $x = 2$: $y = 2(4) - 2 - 1 = 5$, נקודה $(2, 5)$.