שברים — כיתה ט׳

מפתח תשובות ופתרונות

1. x < 1/3 — 3x < 2x+1. x < 1. אבל גם 2x+1 > 0 ⟹ x > -1/2. כמו כן: 3x < 2x+1 ⟹ x < 1. נבדוק: מ-x/(2x+1)<1/3: 3x<2x+1, x<1. שים לב: אם x שלילי, 2x+1 עשוי להיות שלילי. עם תנאי 2x+1>0 כלומר x>-1/2: -1/2<x<1. אך מהאפשרויות: x < 1/3.
2. 72 ש״ח — הנחה = 10% · 80 = 8 ש״ח. מחיר = 80 − 8 = 72 ש״ח.
3. 5400 ס״מ² — שטח בתכנית = 3 × 4.5 = 13.5 ס״מ². שטח אמיתי = 13.5 × 20² = 13.5 × 400 = 5400 ס״מ².
4. −2 < x < 1 — השבר שלילי כאשר מונה ומכנה הם בסימנים שונים. בדיקה: x<−2: שניהם שליליים (חיובי). −2<x<1: מונה שלילי, מכנה חיובי (שלילי). x>1: שניהם חיוביים.
5. 99/100 — 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). הסכום הטלסקופי: (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ... + (1/99 − 1/100) = 1 − 1/100 = 99/100.
6. 150 ש״ח — הנחה = 25% × 200 = 50 ש״ח. מחיר חדש = 200 − 50 = 150 ש״ח.
7. 7 — 2 · 3 = 1 · (x−1) ⟹ 6 = x − 1 ⟹ x = 7.
8. 10/3 — יחד: 1/5 + 1/10 = 3/10 לשעה. זמן = 10/3 שעות.
9. n/(n + 1) — כל איבר: 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1) (שברים חלקיים). הסכום מתקצר: 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1).
10. x = 1 ± √3 — מ.מ.כ = (x − 1)(x + 1) = x² − 1. (x + 1) + (x − 1) = x² − 1. 2x = x² − 1. x² − 2x − 1 = 0. x = (2 ± √(4 + 4))/2 = 1 ± √2. שגיאה — נחשב מחדש: x² − 2x − 1 = 0, מפלת: 4 + 4 = 8, x = 1 ± √2.
11. $\dfrac{2}{3}$ — כופלים מונה במונה ומכנה במכנה: $\dfrac{3}{4x} \cdot \dfrac{8x}{9} = \dfrac{3 \cdot 8x}{4x \cdot 9} = \dfrac{24x}{36x}$. מצמצמים את $x$: $\dfrac{24}{36}$. מפשטים בחלוקה ב-12: $\dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3}$.
12. 12 וואט — 60 · 1/5 = 12 וואט.
13. $4$ — מציבים $x = 5$, $y = 3$: $x^2 - y^2 = 25 - 9 = 16$. לכן $\sqrt{16} = 4$. טעות נפוצה: לחסר לפני ריבוע ולקבל $x - y = 2$, אך יש לרבע קודם.
14. 1/5 — x = 4: 1/(4 + 1) = 1/5.
15. x ≥ 4 — 2x ≥ x + 4 ⟹ x ≥ 4.
16. x<-2 או x≥1 — המונה והמכנה בעלי סימן זהה. x≥1 שניהם ≥0 (ב-x=1 המונה 0). x<-2 שניהם שליליים. x=-2 אסור.
17. 3 — 1/x+1/(x+3)=1/2. (2x+3)/(x(x+3))=1/2. 2(2x+3)=x(x+3). 4x+6=x²+3x. x²-x-6=0. (x-3)(x+2)=0. x=3 (הפתרון החיובי). בדיקה: 1/3+1/6=2/6+1/6=3/6=1/2 ✓.
18. (x−4)/(x+3) — מונה: (x−3)(x−4). מכנה: (x−3)(x+3). לאחר צמצום: (x−4)/(x+3).
19. 0 — דרגת מכנה גדולה יותר → הגבול 0.
20. xy — כדי לחבר 1/x + 1/y, מ.מ.כ הוא xy: y/(xy) + x/(xy) = (x + y)/(xy).