סדרות — כיתה י"ב · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $147$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=6+6\cdot 5=36$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{7(6+36)}{2}=147$.
2. $32$ — הרקורסיה מוסיפה $5$ בכל צעד, כלומר זו סדרה חשבונית עם $d=5$. לאחר $6$ צעדים מ-$a_1=2$ מקבלים $a_{7}=2+6\cdot 5=32$.
3. $136$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=3+7\cdot 4=31$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{8(3+31)}{2}=136$.
4. $4374$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{8}=2\cdot 3^{7}=4374$.
5. $26$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{11}=6+(11-1)\cdot 2=6+10\cdot 2=26$.
6. $627$ — תחילה $a_{19}=a_1+(n-1)d=6+18\cdot 3=60$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{19(6+60)}{2}=627$.
7. $60$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{12}=5+(12-1)\cdot 5=5+11\cdot 5=60$.
8. $12$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{3}=3\cdot 2^{2}=12$.
9. $\dfrac{7}{5}$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{7+\frac{5}{n}}{5+\frac{7}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{5}{n},\frac{7}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{7}{5}=\dfrac{7}{5}$.
10. $128$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{7}=2\cdot 2^{6}=128$.
11. $19$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{17}=3+(17-1)\cdot 1=3+16\cdot 1=19$.
12. $45$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=3\cdot\dfrac{2^{4}-1}{2-1}=3\cdot\dfrac{16-1}{1}=45$.
13. $34$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{13}=10+(13-1)\cdot 2=10+12\cdot 2=34$.
14. $10$ — הרקורסיה מוסיפה $2$ בכל צעד, כלומר זו סדרה חשבונית עם $d=2$. לאחר $3$ צעדים מ-$a_1=4$ מקבלים $a_{4}=4+3\cdot 2=10$.
15. $972$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{6}=4\cdot 3^{5}=972$.
16. $13$ — הרקורסיה מוסיפה $3$ בכל צעד, כלומר זו סדרה חשבונית עם $d=3$. לאחר $4$ צעדים מ-$a_1=1$ מקבלים $a_{5}=1+4\cdot 3=13$.
17. $9$ — הרקורסיה מוסיפה $2$ בכל צעד, כלומר זו סדרה חשבונית עם $d=2$. לאחר $3$ צעדים מ-$a_1=3$ מקבלים $a_{4}=3+3\cdot 2=9$.
18. $100$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=1+9\cdot 2=19$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{10(1+19)}{2}=100$.
19. $2928.2$ — בריבית דריבית הסכום מתנהג כסדרה הנדסית: $A=P\cdot\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^{t}=2000\cdot 1.1^{4}=2928.2$ ש"ח.
20. $82$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{20}=6+(20-1)\cdot 4=6+19\cdot 4=82$.