פונקציות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $x=e$ — לפי כלל המנה: $f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln x \cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$. מאפסים את המונה: $1-\ln x=0 \Rightarrow \ln x=1 \Rightarrow x=e$.
2. $x=-1\pm i$ — $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\dfrac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i$.
3. $3 - i$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 + i} = 1 - i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $3 - i$.
4. $1+i$ — מכפילים בצמוד $1-i$: $\dfrac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2i-2i^{2}}{2}=\dfrac{2i+2}{2}=1+i$.
5. $2i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=1-1+2i=0+2i$. התוצאה $2i$.
6. $18$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $9-(-9)=18$, החלק המדומה $0$. התוצאה $18$.
7. $-1 + 23i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $6-(7)=-1$, החלק המדומה $23$. התוצאה $-1 + 23i$.
8. $12 + 8i$ — כפל איבר באיבר: $1\cdot2=2$, $1\cdot(-2i)=-2i$, $5i\cdot2=10i$, $5i\cdot(-2i)=-10i^2=10$. החלק הממשי: $2+10=12$, החלק המדומה: $-2i+10i=8i$. התוצאה $12+8i$.
9. $5 + 12i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=9-4+12i=5+12i$. התוצאה $5 + 12i$.
10. $x=1$ — $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$. מאפסים: $1-\dfrac{1}{x}=0 \Rightarrow x=1$. זהו מינימום.
11. $10$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $8-(-2)=10$, החלק המדומה $0$. התוצאה $10$.
12. $x=0$ — כאשר $x \to 0^{+}$, $\ln x \to -\infty$, ולכן ציר ה-$y$ (הישר $x=0$) הוא אסימפטוטה אנכית.
13. $3$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 + i} = 1 - i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $3$.
14. $i$ — מכפילים בצמוד המכנה: $\dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{(1+i)^{2}}{2}=\dfrac{2i}{2}=i$.
15. $-2+2i$ — ידוע $(1+i)^{2}=2i$, ולכן $(1+i)^{3}=(1+i)^{2}(1+i)=2i(1+i)=2i+2i^{2}=2i-2=-2+2i$.
16. $11 + 10i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $8-(-3)=11$, החלק המדומה $10$. התוצאה $11 + 10i$.
17. $8 - 11i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $6-(-2)=8$, החלק המדומה $-11$. התוצאה $8 - 11i$.
18. $x = 2 \pm 3i$ — לפי נוסחת השורשים, המבחין שלילי ולכן הפתרונות מרוכבים. החלק הממשי של הפתרון הוא $2$ והחלק המדומה $\pm 3i$. לכן $x = 2 \pm 3i$.
19. $x=1\pm 2i$ — לפי הנוסחה: $x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.
20. $2$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 + i} = 1 - i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $2$.