פונקציות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $10 + i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $10 + i$.
2. $-7i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $-7i$.
3. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 13 בחלוקה ב-4: $13 = 4 \cdot 3 + 1$, ולכן $i^{13} = i^{1} = $ $i$.
4. $4 - 4i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $4 - 4i$.
5. $-1 - 2i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=-1$, $b=2$, ולכן הצמוד הוא $-1 - 2i$.
6. $5 - 5i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(7) - (2) = 5$ עבור הממשי, $(3) - (8) = -5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $5 - 5i$.
7. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 12 בחלוקה ב-4 היא 0, ולכן $i^{12}=i^{0}=$$1$.
8. $4 + 5i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(0) + (4) = 4$ עבור הממשי, $(5) + (0) = 5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $4 + 5i$.
9. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 17 בחלוקה ב-4 היא 1, ולכן $i^{17}=i^{1}=$$i$.
10. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 10 בחלוקה ב-4: $10 = 4 \cdot 2 + 2$, ולכן $i^{10} = i^{2} = $ $-1$.
11. $1$ — $20$ מתחלק ב-$4$ ללא שארית, ולכן $i^{20}=i^{4 \cdot 5}=1$.
12. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 4 בחלוקה ב-4: $4 = 4 \cdot 1 + 0$, ולכן $i^{4} = i^{0} = $ $1$.
13. $3-4i$ — הצמוד של $a+bi$ הוא $a-bi$ — משאירים את החלק הממשי ומחליפים את סימן החלק המדומה: $3-4i$.
14. $8 + 4i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(5) + (3) = 8$ עבור הממשי, $(-2) + (6) = 4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $8 + 4i$.
15. $2 + 5i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=2$, $b=-5$, ולכן הצמוד הוא $2 + 5i$.
16. $2+3i$ — $i(3-2i)=3i-2i^{2}=3i+2=2+3i$.
17. $-2 + 6i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $-2 + 6i$.
18. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 14 בחלוקה ב-4 היא 2, ולכן $i^{14}=i^{2}=$$-1$.
19. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 8 בחלוקה ב-4: $8 = 4 \cdot 2 + 0$, ולכן $i^{8} = i^{0} = $ $1$.
20. $3e^{x}+C$ — קבוע יוצא מחוץ לאינטגרל: $\int 3e^{x}dx=3e^{x}+C$.