טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $1$ — מקסימום יחיד ב-$x=90^\circ$.
2. $x=45^\circ,\ 225^\circ$ — לטנגנס מחזור של $180^\circ$, ולכן הפתרונות הם $45^\circ$ ו-$225^\circ$, כלומר $x=45^\circ,\ 225^\circ$.
3. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ — הזווית $30^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $45^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $360^\circ$ — מחזור הסינוס הבסיסי הוא $360^\circ$.
6. $\frac{1}{2}$ — הזווית $300^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(300^\circ) = \frac{1}{2}$.
7. $4$ — מקסימום $\sin x=1$, ולכן $1+3=4$.
8. $5$ — האמפליטודה היא $|A|=5$.
9. $\frac{1}{2}$ — הזווית $60^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
10. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
11. $x = 180^\circ k$ — $\tan x = 0$ כאשר $\sin x=0$, כלומר $x=180^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
12. $1$ — הזווית $0^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(0^\circ) = 1$.
13. $\sqrt{3}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(240^\circ) = \sqrt{3}$.
14. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
15. $12$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot6\cdot8\cdot\frac12 = 12$.
16. $-1 \le y \le 1$ — ערכי הסינוס נעים בין $-1$ ל-$1$.
17. $16$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\frac12 = 16$.
18. $-\frac{4}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע השני הקוסינוס שלילי, ולכן $\cos x = -\frac{4}{5}$.
19. $\sin a\cos b - \cos a\sin b$ — לפי נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה, הביטוי שווה ל-$\sin a\cos b - \cos a\sin b$.
20. $0$ — הזווית $0^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(0^\circ) = 0$.