⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י"ב · 4 יח"ל · רמה קשה · 20 שאלות

טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.מהי הנוסחה ל- $cos (a - b)$ ?
(א) $cos a cos b - sin a sin b$
(ב) $cos a cos b + sin a sin b$
(ג) $sin a cos b - cos a sin b$
(ד) $sin a cos b + cos a sin b$
2.נתון $sin x = \frac{8}{17}$ ו- $cos x = \frac{15}{17}$ . מהו $tan x$ ?
(א) $- \frac{8}{15}$
(ב) $\frac{8}{15}$
(ג) $\frac{8}{17}$
(ד) $\frac{15}{17}$
3.מהו הפתרון הכללי של $cos x = 1$ ?
(א) $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ב) $x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 18 0^{\circ} k$
(ד) $x = 36 0^{\circ} k$
4.מהו $tan (22 5^{\circ})$ ?
(א) $1$
(ב) $- \frac{1}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
5.נתון $sin x = \frac{1}{2}$ ו- $cos x = \frac{3}{2}$ . מהו $cos 2 x$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $- \frac{1}{2}$
(ד) $1$
6.מהו $cos (12 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $- \frac{1}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $- \frac{3}{2}$
7.נתון $sin x = \frac{8}{17}$ והזווית $x$ ברביע הראשון. מהו $cos x$ ?
(א) $- \frac{15}{17}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{8}{17}$
(ד) $\frac{15}{17}$
8.פתור את המשוואה $cos x = \frac{3}{2}$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$
(ב) $x = 3 0^{\circ}, 21 0^{\circ}$
(ג) $x = 6 0^{\circ}, 30 0^{\circ}$
(ד) $x = 3 0^{\circ}, 33 0^{\circ}$
9.מהו שטח המשולש שבו שתי צלעות הן $4$ ו- $6$ והזווית שביניהן היא $6 0^{\circ}$ ?
(א) $63$
(ב) $6$
(ג) $12$
(ד) $123$
10.פתור את המשוואה $tan x = 3$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$
(ב) $x = 6 0^{\circ}, 30 0^{\circ}$
(ג) $x = 3 0^{\circ}, 21 0^{\circ}$
(ד) $x = 6 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$
11.נתון $sin x = \frac{4}{5}$ ו- $cos x = \frac{3}{5}$ . מהו $cos 2 x$ ?
(א) $\frac{3}{5}$
(ב) $\frac{7}{25}$
(ג) $- \frac{7}{25}$
(ד) $\frac{24}{25}$
12.מהו $sin (27 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $- 1$
(ג) $- \frac{1}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
13.מהו $tan (13 5^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $- 1$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $- \frac{1}{2}$
14.מהו $cos (2 \cdot 4 5^{\circ})$ ?
(א) $1$
(ב) $0$
(ג) $- 1$
(ד) $\frac{2}{2}$
15.נתון $sin x = \frac{5}{13}$ והזווית $x$ ברביע הראשון. מהו $cos x$ ?
(א) $\frac{5}{13}$
(ב) $\frac{12}{13}$
(ג) $- \frac{12}{13}$
(ד) $\frac{1}{2}$
16.נתון $sin x = \frac{5}{13}$ ו- $cos x = \frac{12}{13}$ . מהו $tan x$ ?
(א) $- \frac{5}{12}$
(ב) $\frac{5}{13}$
(ג) $\frac{5}{12}$
(ד) $\frac{12}{13}$
17.מהי האמפליטודה של הפונקציה $y = 6 sin 2 x$ ?
(א) $2$
(ב) $3$
(ג) $12$
(ד) $6$
18.במשולש $A B C$ נתון $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ . מהי הזווית $A$ (מול הצלע $a$ )?
(א) $4 5^{\circ}$
(ב) $9 0^{\circ}$
(ג) $6 0^{\circ}$
(ד) $3 0^{\circ}$
19.מהו תחום הערכים של הפונקציה $y = 2 cos x$ ?
(א) $0 \leq y \leq 2$
(ב) $- 2 \leq y \leq 2$
(ג) $- 1 \leq y \leq 1$
(ד) $- 4 \leq y \leq 4$
20.מהו המחזור של הפונקציה $y = sin 2 x$ (במעלות)?
(א) $36 0^{\circ}$
(ב) $9 0^{\circ}$
(ג) $72 0^{\circ}$
(ד) $18 0^{\circ}$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

$\cos a\cos b + \sin a\sin b$ — לפי נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה, הביטוי שווה ל-$\cos a\cos b + \sin a\sin b$.
$\frac{8}{15}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{8}{15}$.
$x = 360^\circ k$ — $\cos x = 1$ רק ב-$0^\circ$ (עד כדי סיבוב מלא), כלומר $x=360^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
$1$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(225^\circ) = 1$.
$\frac{1}{2}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$.
$-\frac{1}{2}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$\frac{15}{17}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{15}{17}$.
$x=30^\circ,\ 330^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $30^\circ$ ו-$330^\circ$, כלומר $x=30^\circ,\ 330^\circ$.
$6\sqrt{3}$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt{3}$.
$x=60^\circ,\ 240^\circ$ — לטנגנס מחזור של $180^\circ$, ולכן הפתרונות הם $60^\circ$ ו-$240^\circ$, כלומר $x=60^\circ,\ 240^\circ$.
$-\frac{7}{25}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{3}{5})^2-(\frac{4}{5})^2 = -\frac{7}{25}$.
$-1$ — הזווית $270^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(270^\circ) = -1$.
$-1$ — הזווית $135^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(135^\circ) = -1$.
$0$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 90^\circ = 0$.
$\frac{12}{13}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{12}{13}$.
$\frac{5}{12}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$.
$6$ — האמפליטודה היא המקדם $6$; המספר $2$ משפיע רק על המחזור.
$90^\circ$ — לפי חוק הקוסינוסים $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{9+16-25}{2\cdot3\cdot4} = 0$, ולכן $A = 90^\circ$.
$-2 \le y \le 2$ — האמפליטודה $2$, ולכן הערכים בין $-2$ ל-$2$.
$180^\circ$ — מחזור של $\sin(bx)$ הוא $\frac{360^\circ}{b}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.