טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $x=45^\circ,\ 135^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $45^\circ$ ו-$135^\circ$, כלומר $x=45^\circ,\ 135^\circ$.
2. $-\frac{12}{5}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$.
3. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. $\frac{4}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{4}{5}$.
5. $x=90^\circ,\ 270^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $90^\circ$ ו-$270^\circ$, כלומר $x=90^\circ,\ 270^\circ$.
6. $-2$ — מינימום של $\cos x$ הוא $-1$, ולכן $2\cos x$ מגיע ל-$-2$.
7. $\frac{120}{169}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.
8. $1$ — הזווית $45^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(45^\circ) = 1$.
9. $-\sqrt{3}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.
10. $\frac{1}{2}$ — הזווית $150^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$.
11. $x=135^\circ,\ 315^\circ$ — לטנגנס מחזור של $180^\circ$, ולכן הפתרונות הם $135^\circ$ ו-$315^\circ$, כלומר $x=135^\circ,\ 315^\circ$.
12. $120^\circ$ — מחזור $=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
13. $10$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac12 = 10$.
14. $1$ — הזווית $90^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(90^\circ) = 1$.
15. $5$ — לפי חוק הקוסינוסים $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 9 + 16 - 2\cdot3\cdot4\cdot(0)$, ולכן $c = 5$.
16. $90^\circ$ — מחזור הטנגנס הוא $180^\circ$, וב-$\tan 2x$ הוא $\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$.
17. $90^\circ$ — מחזור $=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$.
18. $x = 90^\circ + 180^\circ k$ — $\cos x = 0$ ב-$90^\circ$ ו-$270^\circ$, כלומר $x=90^\circ+180^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
19. $x=180^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $180^\circ$ בלבד, כלומר $x=180^\circ$.
20. $3$ — באמפליטודה של $y=A\sin x$ הערך הוא $|A|$, כאן $3$.