חזקות — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $x^{3}$ — בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסירים מעריכים: $\frac{x^{7}}{x^{4}} = x^{7-4} = x^{3}$.
2. $x^{10}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{5} \cdot x^{5} = x^{5+5} = x^{10}$.
3. $5$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{2} 16 + \log_{2} 2 = \log_{2} (16\cdot 2) = \log_{2} 32 = 5$.
4. $4$ — מעריך רציונלי: $64^{\frac{1}{3}} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^{1} = 4$.
5. $125$ — לפי הגדרת הלוגריתם: $\log_{5} x = 3$ פירושו $x = 5^{3} = 125$.
6. $3$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{4} 16 + \log_{4} 4 = \log_{4} (16\cdot 4) = \log_{4} 64 = 3$.
7. $2$ — לפי חוק חיסור לוגריתמים: $\log_{10} 10000 - \log_{10} 100 = \log_{10} \frac{10000}{100} = \log_{10} 100 = 2$.
8. $8$ — $\sqrt{64}$ הוא המספר שבחזקת $2$ נותן $64$: כי $8^{2} = 64$, ולכן $\sqrt{64} = 8$.
9. $x^{8}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{4})^{2} = x^{4 \cdot 2} = x^{8}$.
10. $x^{6}$ — בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסירים מעריכים: $\frac{x^{8}}{x^{2}} = x^{8-2} = x^{6}$.
11. $7$ — $\sqrt[3]{343}$ הוא המספר שבחזקת $3$ נותן $343$: כי $7^{3} = 343$, ולכן $\sqrt[3]{343} = 7$.
12. $2$ — לפי חוק החזקה בלוגריתם: $2\log_{5} 5 = \log_{5} 5^{2} = 2 \cdot 1 = 2$.
13. $2$ — $\log_{3} 9 = 2$ כי $3^{2} = 9$.
14. $4$ — $\sqrt{16}$ הוא המספר שבחזקת $2$ נותן $16$: כי $4^{2} = 16$, ולכן $\sqrt{16} = 4$.
15. $27$ — $3^{3} = 3\cdot 3\cdot 3 = 27$.
16. $6$ — $\log_{2} 64 = 6$ כי $2^{6} = 64$.
17. $25$ — לפי הגדרת הלוגריתם: $\log_{5} x = 2$ פירושו $x = 5^{2} = 25$.
18. $3$ — $\log_{5} 125 = 3$ כי $5^{3} = 125$.
19. $5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $32 = 2^{5}$, ולכן $2^{x} = 2^{5}$ ומכאן $x = 5$.
20. $x^{2}$ — בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסירים מעריכים: $\frac{x^{6}}{x^{4}} = x^{6-4} = x^{2}$.