אלגברה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $2$ — מקרה $x+1 \geq 0$: $x+1 = 2x-1$, $x = 2$ (תקין, $\geq -1$, וגם $2x-1=3>0$). מקרה $x+1<0$: $-(x+1) = 2x-1$, $-x-1=2x-1$, $x=0$, אך זה סותר $x<-1$ — נפסל. לכן $x=2$.
2. $4$ — מעבירים: $\sqrt{x} = x-2$, מעלים בריבוע: $x = x^2-4x+4$, $x^2-5x+4=0$, $x=4$ או $x=1$. בדיקה: $x=4$: $2+2=4$ תקין; $x=1$: $1+2=3\neq 1$ — זר. לכן $x=4$.
3. $0$ ו-$3$ — מעלים בריבוע: $5x+1 = x^2+2x+1$, $x^2-3x=0$, $x=0$ או $x=3$. בדיקה: $x=0$: $\sqrt1=1=0+1$ תקין; $x=3$: $\sqrt{16}=4=3+1$ תקין. שניהם מתקבלים.
4. $3$ — לפי נוסחת מעבר בסיס: $\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 8 = 3$.
5. $x = \pm\sqrt{3}$ — $9 = 3^2$, לכן $x^2-1 = 2$, $x^2 = 3$ ומכאן $x = \pm\sqrt{3}$.
6. $4$ — $x^2 = 16$ ו-$x>0$, $x\neq 1$, לכן $x = 4$.
7. $\frac{2}{3}$ — מבססים על $2$: $2^{3x} = 2^2$, לכן $3x = 2$ ומכאן $x = \frac{2}{3}$.
8. $x = 4$ או $x = -1$ — $x^2 = 3x+4$, $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$. בדיקה: עבור $x=4$, $x^2=16>0$ ו-$3x+4=16>0$ — תקין; עבור $x=-1$, $x^2=1>0$ ו-$3x+4=1>0$ — תקין. שני הפתרונות מתקבלים.
9. $3$ — מעלים בריבוע: $2x+3 = x^2$, $x^2-2x-3=0$, $x=3$ או $x=-1$. בדיקה: $x=3$: $\sqrt9=3$ תקין; $x=-1$: $\sqrt1=1\neq -1$ — זר. לכן $x=3$.
10. $9$ — מעלים בריבוע: $x = (x-6)^2 = x^2-12x+36$, $x^2-13x+36=0$, $x=9$ או $x=4$. בדיקה: עבור $x=9$: $\sqrt9=3=9-6$ תקין; עבור $x=4$: $\sqrt4=2$ אך $4-6=-2$, לא שווה — פתרון זר. לכן $x=9$ בלבד.
11. $-3$ — $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$, לכן $\log_{1/2} 8 = -3$.
12. $7$ — לפי זהות הלוגריתם, $a^{\log_a x} = x$, ולכן $2^{\log_2 7} = 7$.
13. $\frac{5}{2}$ — $\sqrt{32} = 32^{1/2} = 2^{5/2}$, לכן $\log_2 \sqrt{32} = \frac{5}{2}$.
14. $5$ — $10^{\log 5} = 5$ לפי זהות הלוגריתם.
15. $4$ — $\log_2[x(x-2)] = 3$, לכן $x(x-2) = 8$, $x^2-2x-8=0$, $x=4$ או $x=-2$. הפתרון $x=-2$ נפסל (תחום הגדרה דורש $x>2$). לכן $x=4$.
16. $5$ — $-2 \leq x \leq 2$, והשלמים הם $-2,-1,0,1,2$ — סך הכל $5$.
17. $2$ — מעלים בריבוע: $x+2 = x^2$, $x^2-x-2=0$, $x=2$ או $x=-1$. בדיקה: $x=2$: $\sqrt4=2$ תקין; $x=-1$: $\sqrt1=1$ אך $x=-1$, לא שווה — זר. לכן $x=2$.
18. $x \leq 0$ או $x > 1$ — נקודות קריטיות $0$ (מותר) ו-$1$ (אסור). הביטוי אי-שלילי כאשר $x \leq 0$ או $x > 1$.
19. $\frac{1}{2}$ — $4^{-1/2} = \frac{1}{4^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.
20. $-1 \leq x < 0$ או $x \geq 1$ — $\frac{(x-1)(x+1)}{x} \geq 0$. נקודות קריטיות $-1, 0, 1$ ($x=0$ אסור). בדיקת סימנים נותנת: $-1 \leq x < 0$ או $x \geq 1$.