סדרות — כיתה י"א · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $3$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס, וסכומו $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$.
2. $127$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{1(2^{7}-1)}{2-1}=127$.
3. $45$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{3(2^{4}-1)}{2-1}=45$.
4. $21$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{3(2^{3}-1)}{2-1}=21$.
5. $16$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{4}=2\cdot 2^{4-1}=16$.
6. $31$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{1(2^{5}-1)}{2-1}=31$.
7. $42$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{2(4^{3}-1)}{4-1}=42$.
8. $3$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס, וסכומו $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=3$.
9. $16$ — מתחילים מ-$a_1=2$ ומכפילים ב-$2$ בכל צעד עד $a_{4}$: התוצאה היא $16$.
10. $9$ — עבור $n=3$ האיברים הם $1,3,5$ (עד $2\cdot3-1=5$), וסכומם $1+3+5=9=3^2$.
11. $21$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=21$.
12. $20$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{3}=5\cdot 2^{3-1}=20$.
13. $40$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{3}=10\cdot 2^{3-1}=40$.
14. $63$ — סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{1(2^{6}-1)}{2-1}=63$.
15. $16$ — מתחילים מ-$a_1=4$ ומכפילים ב-$2$ בכל צעד עד $a_{3}$: התוצאה היא $16$.
16. $1395$ — קודם נמצא את האיבר ה-$30$: $a_{30}=3+(30-1)\cdot 3=90$. סכום סדרה חשבונית: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{30(3+90)}{2}=1395$.
17. $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$ — $S_{k+1}=S_k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$, וזהו בדיוק ביטוי הנוסחה המקורית עבור $n=k+1$.
18. $27$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{4}=1\cdot 3^{4-1}=27$.
19. $27$ — נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. נציב: $a_{3}=3\cdot 3^{3-1}=27$.
20. $111$ — קודם נמצא את האיבר ה-$6$: $a_{6}=6+(6-1)\cdot 5=31$. סכום סדרה חשבונית: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{6(6+31)}{2}=111$.