⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י"א · 5 יח"ל · רמה קשה · 20 שאלות

סדרות — כיתה י"א · 5 יח"ל (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

1.אוכלוסיית ארנבים מתחילה מ- $4$ וגדלה פי $3$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $12$
(ב) $4$
(ג) $108$
(ד) $36$
2.מספר עוקבים מתחילה מ- $400$ וגדל ב- $50%$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $900$
(ב) $400$
(ג) $600$
(ד) $1350$
3.מהו גבול הסדרה $a_{n} = \frac{n + 4}{2 n - 1}$ כאשר $n \to \infty$ ?
(א) $2$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $1$
(ד) $0$
4.נתונה סדרת השוויונות: $2 = 2$ , $2 + 4 = 6$ , $2 + 4 + 6 = 12$ , $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ . איזו נוסחה כללית מתאימה לתבנית זו?
(א) $2 + 4 + 6 + \dots + 2 n = n (n + 1)$
(ב) $2 + 4 + 6 + \dots + 2 n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
(ג) $2 + 4 + 6 + \dots + 2 n = n^{2}$
(ד) $2 + 4 + 6 + \dots + 2 n = 2 n^{2}$
5.אוכלוסיית חרקים מתחילה מ- $25$ וגדלה פי $2$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $3$ יחידות זמן?
(א) $400$
(ב) $25$
(ג) $50$
(ד) $200$
6.אוכלוסיית כפר מתחילה מ- $800$ וגדלה ב- $25%$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $\frac{3125}{2}$
(ב) $800$
(ג) $1000$
(ד) $1250$
7.אוכלוסיית עיר מתחילה מ- $1000$ וגדלה ב- $20%$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $1200$
(ב) $1000$
(ג) $1440$
(ד) $1728$
8.ערך נדל"ן מתחילה מ- $16000$ ויורד ב- $25%$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $16000$
(ב) $9000$
(ג) $12000$
(ד) $6750$
9.בהוכחת הטענה $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ באינדוקציה, מהו האיבר שנוסף לאגף שמאל במעבר מ- $n = k$ ל- $n = k + 1$ ?
(א) $2 k + 1$
(ב) $2 k - 1$
(ג) $k + 1$
(ד) $2 k$
10.ערך רכב מתחילה מ- $10000$ ויורד ב- $40%$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $10000$
(ב) $2160$
(ג) $3600$
(ד) $6000$
11.מפקידים $1000$ שקלים בריבית דריבית שנתית של $50%$ . כמה כסף יהיה אחרי $2$ שנים?
(א) $3250$
(ב) $1500$
(ג) $2000$
(ד) $2250$
12.מהו גבול הסדרה $a_{n} = \frac{10}{2 ^{n}}$ כאשר $n \to \infty$ ?
(א) $5$
(ב) $0$
(ג) $10$
(ד) $\infty$
13.ערך מכשיר מתחילה מ- $800$ ויורד ב- $50%$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $400$
(ב) $800$
(ג) $200$
(ד) $100$
14.סדרה מוגדרת ברקורסיה: $b_{1} = 2$ , $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 1$ . מחשבים: $b_{2} = 3$ , $b_{3} = 5$ , $b_{4} = 9$ . מהי הנוסחה הכללית ל- $b_{n}$ ?
(א) $b_{n} = 2^{n - 1} + 2$
(ב) $b_{n} = 2^{n - 1} + 1$
(ג) $b_{n} = 2^{n} - 1$
(ד) $b_{n} = n^{2} - n + 2$
15.מהו גבול הסדרה $a_{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ כאשר $n \to \infty$ ?
(א) $\frac{1}{3}$
(ב) $\infty$
(ג) $0$
(ד) $1$
16.מהו גבול הסדרה $a_{n} = \frac{7 n ^{2}}{n ^{2} + 5}$ כאשר $n \to \infty$ ?
(א) $7$
(ב) $0$
(ג) $1$
(ד) $5$
17.מהו גבול הסדרה $a_{n} = \frac{4 n - 3}{2 n}$ כאשר $n \to \infty$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $4$
(ד) $2$
18.ערך מחשב מתחילה מ- $4000$ ויורד ב- $25%$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $2$ יחידות זמן?
(א) $2250$
(ב) $\frac{3375}{2}$
(ג) $3000$
(ד) $4000$
19.מספר חיידקים מתחילה מ- $200$ וגדל פי $2$ בכל יחידת זמן. מה הערך אחרי $3$ יחידות זמן?
(א) $200$
(ב) $3200$
(ג) $400$
(ד) $1600$
20.מהו גבול הסדרה $a_{n} = \frac{n ^{2}}{n ^{2} + n}$ כאשר $n \to \infty$ ?
(א) $1$
(ב) $\infty$
(ג) $0$
(ד) $2$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

$36$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $4$ ומנה $3$. אחרי $2$ פרקי זמן: $4\cdot 3^{2}=36$.
$900$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $400$ ומנה $\frac{3}{2}$. אחרי $2$ פרקי זמן: $400\cdot \frac{3}{2}^{2}=900$.
$\frac{1}{2}$ — מחלקים ב-$n$: $\frac{1+\frac{4}{n}}{2-\frac{1}{n}}\to \frac{1}{2}$.
$2+4+6+\dots+2n=n(n+1)$ — בדקו: עבור $n=1$: $n(n+1)=1\cdot2=2$; עבור $n=2$: $2\cdot3=6$; עבור $n=3$: $3\cdot4=12$; עבור $n=4$: $4\cdot5=20$ — כל התוצאות תואמות.
$200$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $25$ ומנה $2$. אחרי $3$ פרקי זמן: $25\cdot 2^{3}=200$.
$1250$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $800$ ומנה $\frac{5}{4}$. אחרי $2$ פרקי זמן: $800\cdot \frac{5}{4}^{2}=1250$.
$1440$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $1000$ ומנה $\frac{6}{5}$. אחרי $2$ פרקי זמן: $1000\cdot \frac{6}{5}^{2}=1440$.
$9000$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $16000$ ומנה $\frac{3}{4}$. אחרי $2$ פרקי זמן: $16000\cdot \frac{3}{4}^{2}=9000$.
$2k+1$ — האיבר הכללי הוא $2n-1$. עבור $n=k+1$ האיבר הוא $2(k+1)-1=2k+2-1=2k+1$. זהו ההפרש בין אגף שמאל של $k+1$ לאגף שמאל של $k$.
$3600$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $10000$ ומנה $\frac{3}{5}$. אחרי $2$ פרקי זמן: $10000\cdot \frac{3}{5}^{2}=3600$.
$2250$ — בריבית דריבית הסכום אחרי $2$ שנים הוא $P(1+r)^t=1000\cdot(1+\frac{1}{2})^{2}=2250$ שקלים.
$0$ — המכנה $2^n$ גדל ללא גבול, ולכן השבר שואף ל-$0$.
$200$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $800$ ומנה $\frac{1}{2}$. אחרי $2$ פרקי זמן: $800\cdot \frac{1}{2}^{2}=200$.
$b_n=2^{n-1}+1$ — בודקים: $b_1=2^0+1=2$, $b_2=2^1+1=3$, $b_3=2^2+1=5$, $b_4=2^3+1=9$ — הדפוס מתאים. אימות ברקורסיה: אם $b_k=2^{k-1}+1$ אז $b_{k+1}=2b_k-1=2(2^{k-1}+1)-1=2^k+2-1=2^k+1$, בהתאמה מלאה לנוסחה עבור $n=k+1$.
$0$ — בסיס בערך מוחלט קטן מ-$1$, ולכן החזקה שואפת ל-$0$.
$7$ — מחלקים ב-$n^2$: $\frac{7}{1+\frac{5}{n^2}}\to 7$.
$2$ — מחלקים ב-$n$: $\frac{4-\frac{3}{n}}{2}\to \frac{4}{2}=2$.
$2250$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $4000$ ומנה $\frac{3}{4}$. אחרי $2$ פרקי זמן: $4000\cdot \frac{3}{4}^{2}=2250$.
$1600$ — מדובר בסדרה הנדסית עם איבר ראשון $200$ ומנה $2$. אחרי $3$ פרקי זמן: $200\cdot 2^{3}=1600$.
$1$ — מחלקים ב-$n^2$: $\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\to 1$.